Question

如圖，C為以AB為直徑的⊙O上一點，AD和過點C的切線互相垂直，垂足為點D．

（1）求證：AC平分∠BAD；
（2）若CD3，AC=3，求⊙O的半徑長．

Answer 1

（1）證明：連結OC（如圖所示） 
則∠ACO=∠CAO （等腰三角形，兩底角相等）
∵CD切⊙O于C，∴CO⊥CD.
又∵AD⊥CD
∴AD∥CO
∴∠DAC=∠ACO （兩直線平行，內錯角相等）
∴∠DAC=∠CAO
∴AC平分∠BAD                   ----------------5分
（2）過點E畫OE⊥AC于E（如圖所示）
在Rt△ADC中，AD==6 
∵OE⊥AC，  ∴AE=AC=
∵ ∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=Rt∠
∴△AEO∽△ADC
∴  即
∴AO=  即⊙O的半徑為.      ----------------5分

（1）連接OC，根據切線與圓的關系和直角三角形內角之間的關系，可以推出AC平分∠DAB；
（2）作OE⊥AC，根據勾股定理，利用相似三角形即可得出圓的半徑