Question

在平面直角坐標系中，拋物線經過A（－3,0）、B（4,0）兩點，且與y軸交于點C，點D在x軸的負半軸上，且BD＝BC，有一動點P從點A出發，沿線段AB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，同時另一個動點Q從點C出發，沿線段CA以某一速度向點A移動.

1.求該拋物線的解析式；

2.若經過t秒的移動，線段PQ被CD垂直平分，求此時t的值；

3.該拋物線的對稱軸上是否存在一點M，使MQ＋MA的值最��？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

 

1.∵拋物線經過A（－3,0），B（4,0）兩點，

∴ 

解得

∴所求拋物線的解析式為.

2.如圖，依題意知AP＝t，連接DQ，

由A（－3,0），B（4,0），C（0,4），

可得AC＝5，BC＝，AB＝7.

∵BD＝BC，

∴.

∵CD垂直平分PQ，

∴QD＝DP，∠CDQ= ∠CDP.

∵BD＝BC，

∴∠DCB=∠CDB.

∴∠CDQ=∠DCB.

∴DQ∥BC. 

∴△ADQ∽△ABC.

∴.

∴.

∴.

解得 .

∴

∴線段PQ被CD垂直平分時，t的值為.

3.設拋物線的對稱軸與x軸交于點E.

點A、B關于對稱軸對稱，連接BQ交該對稱軸于點M.

則，即.

當BQ⊥AC時，BQ最小. 

此時，∠EBM=∠ACO.

∴.

∴.

∴，解得.

∴M（，）.

即在拋物線的對稱軸上存在一點M（，），使得

MQ＋MA的值最小.

解析:1.把A、B兩點坐標代入求出拋物線的解析式；

2.連接DQ，先求出△ADQ∽△ABC.得出，從而求出t的值；

3.∵MQ+MA=BM，∴只需找到B點到AC的長度最短，即過B點作BQ⊥AC，BQ最短，然后求出BQ與對稱軸的交點M的坐標。