Question

（12分）如圖所示，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側作等邊△ABD，等邊△ACE，等邊△BCF。

（1）求證：四邊形DAEF平行四邊形；
（2）（2）探究下列問題：（只填滿足的條件，不需要證明）
①當∠A=           時，四邊形DAEF是矩形；
②當△ABC滿足                條件時，四邊形DAEF是菱形；
③當△ABC滿足              條件時；以D、A、E、F為頂點的四邊形不存在

Answer 1

（1）DAEF為平行四邊形。（2）∠A=150°；AB=AC時；∠A=60°時。

試題分析：
（1）如圖:三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF都是等邊三角形
∵∠DBF=60°，∠FBA=∠ABC
而DB=AB, BF=BC
△DBF≌△ABC
∴DF=AC=AE
同理可證:DA=FE
所以:DAEF為平行四邊形
（2）①如果∠DAE=90°,則DAEF為矩形
則必須∠BAC=360°-2×60°-90°=150°
(另一種情況,BC為短邊,F將落在DAECB的包圍之中, ∠DAE=2×60°+∠BAC>90°,DAEF不可能為矩形,而BC為短邊, ∠BAC<90°)
②如果:DA=AE,則:DAEF為菱形
則必須:AB=AC
③如果: ∠BAC=60°
則: ∠DAE=3×60°=180°
D,A,E共線,所以:以D、A、E、F為頂點的四邊形不存在
點評：此種試題，比較難，過程繁瑣，需要結合學過的四邊形的判定和性質以及相關的證明方法，考查學生對幾何證明題的綜合應用。