Question

【題目】已知a≥0，函數f（x）=（x2﹣2ax）ex ．
（1）當x為何值時，f（x）取得最小值？證明你的結論；
（2）設f（x）在[﹣1，1]上是單調函數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令f'（x）=0即[x2﹣2（a﹣1）x﹣2a]ex=0∴x2﹣2（a﹣1）x﹣2a=0

∵△=[2（a﹣1）]2+8a=4（a2+1）＞0∴x1=a﹣1﹣ ，x2=a﹣1+

又∵當x∈（﹣∞，a﹣1﹣ ）時，f'（x）＞0；

當x∈（a﹣1﹣ ，a﹣1+ ）時，f'（x）＜0；

當x∈（a﹣1+ ，+∞）時，f'（x）＞0．

列表如下：

x	（﹣∞，a﹣1﹣ ）	a﹣1﹣	（a﹣1﹣ ，a﹣1+ ）	a﹣1+	（a﹣1+ ，+∞）
f′（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴x1，x2分別為f（x）的極大值與極小值點．

又∵ f（x）=0；當x→+∞時，f（x）→+∞．

而f（a﹣1+ ）=2（1﹣ ） ＜0．

∴當x=a﹣1+ 時，f（x）取得最小值．

（2）解：f（x）在[﹣1，1]上單調，則f'（x）≥0（或≤0）在[﹣1，1]上恒成立．

而f'（x）=[x2﹣2（a﹣1）x﹣2a]ex，令g（x）=x2﹣2（a﹣1）x﹣2a=[x（a﹣1）]2﹣（a2+1）．

∴f'（x）≥0（或≤0）即g（x）≥0（或≤0）．

當g（x）≥0在[﹣1，1]上恒成立時，有

①當﹣1≤a﹣1≤1即0≤a≤2時，g（x）min=g（a﹣1）=﹣（a2+1）≥0（舍）；

②當a﹣1＞1即a≥2時，g（x）min=g（1）=3﹣4a≥0∴a≤ （舍）．

當g（x）≤0在[﹣1，1]上恒成立時，有

①當﹣1≤a﹣1≤0即0≤a≤1時，g（x）max=g（1）=3﹣4a≤0，∴ ≤a≤1；

②當0＜a﹣1≤1即1＜a≤2時，g（x）max=g（﹣1）=﹣1≤0，∴1＜a≤2；

③當1＜a﹣1即a＞2時，g（x）max=g（﹣1）=﹣1≤0，∴a＞2．

故a∈[ ，+∞）．

【解析】（1）直接求兩個函數乘積的導函數，令其等于0，求出極值點，判斷單調性，進而求出最小值；（2）f（x）在[﹣1，1]上是單調函數，即其導函數恒大于等于或小于等于零，轉化為不等式恒成立問題，再通過構造函數轉化為求函數最值，利用導數的方法即可解決．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的性質的相關知識，掌握函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集．