Question

【題目】已知函數f（x）= + （1﹣a2）x2﹣ax，其中a∈R．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為8x+y﹣2=0，求a的值；
（2）當a≠0時，求函數f（x）（x＞0）的單調區間與極值；
（3）若a=1，存在實數m，使得方程f（x）=m恰好有三個不同的解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f'（x）=ax2+（1﹣a2）x﹣a，由8x+y﹣2=0可得f'（1）=﹣8，

即f'（1）=a+（1﹣a2）﹣a=﹣8，解得a=±3，

當a=3時，f（x）=x3﹣4x2﹣3x，f（1）=﹣6，f'（x）=3x2﹣8x﹣3，f'（1）=﹣8，

當a=﹣3時，f（x）=﹣x3﹣4x2+3，f（1）=﹣2，f'（x）=﹣3x2﹣8x+3，f'（1）=﹣8，

故曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=﹣8（x﹣1），即8x+y﹣6=0不符合題意，舍去，

故a的值為3

（2）解：當a≠0時，f′（x）=ax2+（1﹣a2）x﹣a=（x﹣a）（ax+1）=a（x﹣a）（x+ ），

當a＞0時，令f'（x）=0，則

當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，﹣ ）	﹣	（﹣ ，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴f（x）的單調遞增區間為 ，單調遞減區間為 ．

函數f（x）在 處取得最大值 ，且 ．

函數f（x）在x2=a處取得極小值f（a），且 ，

當a＜0時，令f'（x）=0，則 ，

當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（﹣∞，a）	a	（a，﹣ ）	﹣	（﹣ ，+∞）
f'（x）	﹣	0	+	0	﹣
f（x）	↓	極小值	↑	極大值	↓

∴f（x）的單調遞減區間為 ，單調遞增區間為 ，

函數f（x）在 處取得極大值 ，

且 ．

函數f（x）在x2=a處取得極小值f（a），且

（3）解：若a=1，則 ，

由（2）可知 在區間（﹣∞，﹣1），（1，+∞）內增函數，在區間（﹣1，1）內為減函數，

函數f（x）在x1=1處取的極小值f（1），且 ．

函數f（x）在x2=﹣1處取得極大值f（﹣1），且 ．

如圖分別作出函數 與y=m的圖象，

從圖象上可以看出當 時，兩個函數的圖象有三個不同的交點，

即方程f（x）=m有三個不同的解，

故實數m的取值范圍為 ．

【解析】（1）求導，由f'（1）=﹣8，求得a的值，分別求得切線方程，與原切線方程比較，即可求得a的值；（2）求導，根據導數與函數單調性的關系，分類討論，即可求得函數f（x）（x＞0）的單調區間與極值；（3）由（2）可知：根據函數的單調性，求得f（x）的極值，分別作出函數 與y=m的圖象，從圖象上可以看出當 時，兩個函數的圖象有三個不同的交點，即可求得m的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值才能正確解答此題．