Question

【題目】如圖，己知△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，作∠ABC的角平分線交AC于D，以D為圓心，DA為半徑作圓，與射線交于點E、F．有下列結論： ①△ABC是直角三角形；②⊙D與直線BC相切；③點E是線段BF的黃金分割點；④tan∠CDF=2．
其中正確的結論有（ ）

A.4個
B.3個
C.2個
D.1個

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵32+42=52 ， ∴AB2+AC2=AB2 ，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，①正確；
作DM⊥BC于M，如圖所示：
∵BD是∠ABC的平分線，
∴DM=DA，
∴⊙D與直線BC相切，
∴②正確；
∵∠BAC=∠DMC=90°，
在Rt△BDM和△BDA中，
，
∴Rt△BDM≌△BDA（HL），
∴MB=AB=3，
∴CM=BC﹣MB=2，
∵∠C=∠C，
∴△CDM∽△CBA，
∴ ，即 ，
解得：DM= ，
∴DF=DE= ，
∴BD= = = ，
∴BE=BD﹣DE= ﹣ ，BF=BD+DF= + ，
∵EF2=9，BFBE=（ + ）（ ﹣ ）=9，
∴EF2=BFBE，
∴點E是線段BF的黃金分割點，③正確；
∵tan∠CDF=tan∠ADB= = =2，
∴④正確；
正確的有4個．
故選：A．

【考點精析】通過靈活運用切線的判定定理和黃金分割，掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；把線段AB分成兩條線段AC，BC（AC>BC），并且使AC是AB和BC的比例中項，叫做把線段AB黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，其中AC=0.618AB即可以解答此題．