Question

【題目】如圖，已知二次函數y=﹣x2+bx+c（c＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且OB=OC=3，頂點為M．

（1）求二次函數的解析式；

（2）點P為線段BM上的一個動點，過點P作x軸的垂線PQ，垂足為Q，若OQ=m，四邊形ACPQ的面積為S，求S關于m的函數解析式，并寫出m的取值范圍；

（3）探索：線段BM上是否存在點N，使△NMC為等腰三角形？如果存在，求出點N的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 二次函數的解析式為y=﹣x2+2x+3；(2)S=﹣m2+m+（1≤m＜3）；(3) （， ）（1+，4﹣）（2，2）．

【解析】解：（1）∵OB=OC=3，

∴B（3，0），C（0，3）

∴,

解得,

∴二次函數的解析式為y=﹣x2+2x+3；

（2）y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，M（1， 4）

設直線MB的解析式為y=kx+n，

則有,

解得,

∴直線MB的解析式為y=﹣2x+6,

∵PQ⊥x軸，OQ=m，

∴點P的坐標為（m，﹣2m+6）

S四邊形ACPQ=S△AOC+S梯形PQOC=AOCO+（PQ+CO）OQ（1≤m＜3）

=×1×3+（﹣2m+6+3）m=﹣m2+m+；

（3）線段BM上存在點N（， ），（2，2），（1+，4﹣）使△NMC為等腰三角形,

CM=，CN=，MN=

①當CM=NC時， ，

解得x1=，x2=1（舍去）

此時N（， ），

②當CM=MN時， ，

解得x1=1+，x2=1-舍去），

此時N（1+，4﹣）.

③當CN=MN時， ,

解得x=2，此時N（2，2）．