Question

【題目】如圖，已知△ABC是等邊三角形，點D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連接DE并延長至點F，使EF=AE，連接AF，CF，連接BE并延長交CF于點G．下列結論：

①△ABE≌△ACF；②BC=DF；③S△ABC=S△ACF+S△DCF；④若BD=2DC，則GF=2EG．其中正確的結論是 ．（填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

【答案】①②③④．

【解析】

試題分析：①正確．∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ACB=60°，∵DE=DC，∴△DEC是等邊三角形，∴ED=EC=DC，∠DEC=∠AEF=60°，∵EF=AE，∴△AEF是等邊三角形，∴AF=AE，∠EAF=60°，在△ABE和△ACF中，∵AB=AC，∠BAE=∠CAF，AE=AF，∴△ABE≌△ACF，故①正確．

②正確．∵∠ABC=∠FDC，∴AB∥DF，∵∠EAF=∠ACB=60°，∴AB∥AF，∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴DF=AB=BC，故②正確．

③正確．∵△ABE≌△ACF，∴BE=CF，S△ABE=S△AFC，在△BCE和△FDC中，∵BC=DF，CE=CD，BE=CF，∴△BCE≌△FDC，∴S△BCE=S△FDC，∴S△ABC=S△ABE+S△BCE=S△ACF+S△BCE=S△ABC=S△ACF+S△DCF，故③正確．

④正確．∵△BCE≌△FDC，∴∠DBE=∠EFG，∵∠BED=∠FEG，∴△BDE∽△FGE，∴，∴=，∵BD=2DC，DC=DE，∴=2，∴FG=2EG．故④正確．

綜上所述：①②③④正確．故答案為：①②③④．