Question

已知，如圖，在R t△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．

（1）以AB邊上一點O為圓心，過A，D兩點作⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡），再判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若（1）中的⊙O與AB邊的另一個交點為E，半徑為2，AB＝6，求線段AD、AE與劣弧DE所圍成的圖形面積．（結果保留根號和）

Answer 1

（1）BC是⊙O的切線 （2）

試題分析：解：（1）如圖，作AD的垂直平分線交AB于點O，O為圓心，OA為半徑作圓。
 
判斷結果：BC是⊙O的切線．
連結OD．  ∵AD平分∠BAC   ∴∠DAC=∠DAB  ∵OA=OD   ∴∠ODA=∠DAB
∴∠DAC=∠ODA
∴OD∥AC     ∴∠ODB=∠C
∵∠C=90º   ∴∠ODB=90º  即OD⊥BC
∵OD是⊙O的半徑      ∴ BC是⊙O的切線。
（2）如圖

∵r=2    ∴OB=4    ∴∠OBD=30º，∠DOB=60º
∵S_△ODA=
S_扇形ODE= 
∴S_陰影部分=
點評：該題較為簡單，是常考題，主要考查學生對角平分線和圓的性質，以及對扇形面積公式的應用。