Question

如圖，直線y=﹣3x﹣3與x軸、y軸分別相交于點A、C，經過點C且對稱軸為x=1的拋物線y=ax²+bx+c與x軸相交于A、B兩點．
（1）試求點A、C的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若點M在線段AB上以每秒1個單位長度的速度由點B向點A運動，同時，點N在線段OC上以相同的速度由點O向點C運動（當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動），又PN∥x軸，交AC于P，問在運動過程中，線段PM的長度是否存在最小值？若有，試求出最小值；若無，請說明理由．

Answer 1

（1）A（﹣1，0）；C（0，﹣3）；
（2）拋物線的解析式為y=x²﹣2x﹣3；
（3）在運動過程中，線段PM的長度存在最小值．

解析試題分析：（1）由直線解析式y=﹣3x﹣3，將y=0代入求出x的值，得到直線與x軸交點A的坐標，將x=0代入求出y的值，得到直線與y軸交點C的坐標；
（2）根據拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為x=1，且過點A（﹣1，0）、C（0，﹣3），可得到方程組，解方程組即可求出拋物線的解析式；
（3）由對稱性得點B（3，0），設點M運動的時間為t秒（0≤t≤3），則M（3﹣t，0），N（0，﹣t），P（x_P，﹣t），則可得x_P．再過點P作PD⊥x軸于點D，則D（﹣1，0），在△PDM中利用勾股定理得出PM²=MD²+PD²=（﹣+4）²+（﹣t）²=（25t²﹣96t+144），利用二次函數的性質可知當t=時，PM²最小值為，即在運動過程中，線段PM的長度存在最小值．
試題解析：（1）∵y=﹣3x﹣3，
∴當y=0時，﹣3x﹣3=0，解得x=﹣1，
∴A（﹣1，0）；
∵當x=0時，y=﹣3，
∴C（0，﹣3）；
（2）∵拋物線y=ax²+bx+c的對稱軸為x=1，過點A（﹣1，0）、C（0，﹣3），
∴，解得，
∴拋物線的解析式為y=x²﹣2x﹣3；
（3）由對稱性得點B（3，0），設點M運動的時間為t秒（0≤t≤3），則M（3﹣t，0），N（0，﹣t），P（x_P，﹣t）．
即-t=-3x_p-3
x_p=，
過點P作PD⊥x軸于點D，則D（，0），
∴MD=（3﹣t）﹣（）=﹣+4，
∴PM²=MD²+PD²=（﹣+4）²+（﹣t）²=（25t²﹣96t+144），
又∵﹣＜3，
∴當t=時，PM²最小值為，
故在運動過程中，線段PM的長度存在最小值．

考點：1、一次函數圖象上點的坐標特征；2、待定系數法；3、勾股定理；4、二次函數的性質