Question

如圖，已知二次函數的圖象過點O（0，0），A（4，0），B（2，﹣），M是OA的中點．
（1）求此二次函數的解析式；
（2）設P是拋物線上的一點，過P作x軸的平行線與拋物線交于另一點Q，要使四邊形PQAM是菱形，求P點的坐標；
（3）將拋物線在x軸下方的部分沿x軸向上翻折，得曲線OB′A（B′為B關于x軸的對稱點），在原拋物線x軸的上方部分取一點C，連接CM，CM與翻折后的曲線OB′A交于點D．若△CDA的面積是△MDA面積的2倍，這樣的點C是否存在？若存在求出C點的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1) y=x²﹣x．(2) P（1，﹣）．(3) 點C的坐標為（2+2，）或（2﹣2，）．

解析試題分析：（1）利用待定系數法求出二次函數的解析式；
（2）由四邊形PQAM是菱形，可知PQ=2且PQ∥x軸，因此點P、Q關于對稱軸x=2對稱，可得點P橫坐標為1，從而求出點P的坐標；
（3）假設存在滿足條件的點C．由△CDA的面積是△MDA面積的2倍，可得點C縱坐標是點D縱坐標的3倍，由此列方程求出點C的坐標．
試題解析：（1）∵拋物線過原點，∴設其解析式為：y=ax²+bx．
∵拋物線經過點A（4，0），B（2，﹣），
∴，解得，
∴二次函數解析式為：y=x²﹣x．
（2）∵y=x²﹣x=（x﹣2）²﹣，
∴拋物線對稱軸為直線：x=2．
∵四邊形PQAM是菱形，
∴PQ=MA=2，PQ∥x軸．
∴點P、Q關于對稱軸x=2對稱，
∴點P橫坐標為1．
當x=1時，y=﹣=﹣．
∴P（1，﹣）．
（3）依題意，翻折之后的拋物線解析式為：y=﹣x²+x．
假設存在這樣的點C，
∵△CDA的面積是△MDA面積的2倍，
∴CD=2MD，∴CM=3MD．
如圖所示，分別過點D、C作x軸的垂線，垂足分別為點E、點F，則有DE∥CF．

∴，
∴CF=3DE，MF=3ME．
設C（x，x²﹣x），
則MF=x﹣2，ME=MF=（x﹣2），OE=ME+OM=x+
∴D（x+，﹣（x+）²+（x+））．
∵CF=3DE，
∴x²﹣x=3[﹣（x+）²+（x+）]，
整理得：x²﹣4x﹣8=0，
解得：x₁=2+2，x₂=2﹣2．
∴y₁=，y₂=，
∴存在滿足條件的點C，點C的坐標為（2+2，）或（2﹣2，）．
考點：二次函數綜合題．