Question

【題目】在等腰△OAB和等腰△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，連接AC、BD交于點M．

（1）如圖1，若∠AOB＝∠COD＝40°：

①AC與BD的數量關系為　 　；

②∠AMB的度數為　 　；

（2）如圖2，若∠AOB＝∠COD＝90°：

①判斷AC與BD之間存在怎樣的數量關系？并說明理由；

②求∠AMB的度數；

（3）在（2）的條件下，當∠CAB＝30°，且點C與點M重合時，請直接寫出OD與OA之間存在的數量關系．

Answer 1

【答案】（1）①AC＝BD；②40°；（2）①AC＝BD，理由見解析；②90°；（3）OD＝OA或OD＝OA

【解析】

（1）證明△BOD≌△AOC，得AC=BD，∠OBD＝∠OAC，再利用內角和定理求∠AMB的度數；

（2）類比（1）證明△BOD≌△AOC，得AC=BD，∠OBD＝∠OAC，再利用內角和定理求∠AMB的度數；

（3）根據條件可知D、B、C三點共線，畫出兩種情況的圖形，利用（2）中結論及根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半和勾股定理將AC、BC均用AB表示，進而推出CD與AB的關系，再根據CD=OD，AB=OA,即可得出OD與OA的數量關系

（1）如圖1所示，

①∵∠AOB＝∠COD

∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD

∴∠BOD＝∠AOC

在△BOD和△AOC中

∴△BOD≌△AOC（SAS）

∴AC＝BD.

故答案為：AC＝BD；

②∵△BOD≌△AOC

∴∠OBD＝∠OAC

∵∠AOB＝40°，

∴∠OAB+∠OBA＝180°﹣∠AOB＝180°﹣40°＝140°

又∵∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OBD

∴∠OAB+∠OBA＝∠OAB+∠ABD+∠OAC＝140°，

∴∠MAB+∠ABM＝140°

∵在△ABM中，∠AMB+∠MAB+ABM＝180°，

∴∠AMB＝40°

故答案為：40°；

（2）如圖2所示，

①AC＝BD，

∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，

∴∠BOD＝∠AOC，

在△BOD和△AOC中

，

∴△BOD≌△AOC（SAS）

∴BD＝AC

②∵△BOD≌△AOC，

∴∠OBD＝∠OAC，

又∵∠OAB+∠OBA＝90°，

∠ABO＝∠ABM+∠OBD，

∠MAB＝∠MAO+∠OAB，

∴∠MAB+∠MBA＝90°，

又∵在△AMB中，∠AMB+∠ABM+∠BAM＝180°，

∴∠AMB＝180°﹣（∠ABM+∠BAM）＝180°﹣90°＝90°；

（3）如圖3所示，∠AOB＝∠COD＝90°，OA＝OB，OC＝OD，∠CAB＝30°，

∴∠OAB＝∠OBA＝∠OCD＝∠ODC＝45°，AB＝OA，CD＝ OC，

由（2）得△BOD≌△AOC（SAS）

∴∠ACO＝∠BDO＝45°，BD＝AC

∴∠ACD＝∠ACO+∠OCD＝90°

∴∠ACB＝90°

∴BC＝AB

由勾股定理得：AC＝＝AB

∴CD＝AC﹣BC＝AB

∴OC＝×OA

∴OD＝OC＝OA．

如圖4，同上由勾股定理得：AC＝＝AB

∴CD＝AC+BC＝AB

∴OC＝×OA

∴OD＝OC＝OA．

綜上所述，OD＝ OA或OD＝OA．