Question

【題目】已知△ABC是等邊三角形，點D，E分別在直線BC，AC上.

(1)如圖1，當BD=CE時，連接AD與BE交于點P，則線段AD與BE的數量關系是____________;∠APE的度數是_______________；

(2)如圖2，若“BD=CE”不變，AD與EB的延長線交于點P，那么(1)中的兩個結論是否仍然成立?請說明理由.

(3)如圖3，若AE=BD，連接DE與AB邊交于點M，求證:點M是DE的中點.

Answer 1

【答案】（1）AD＝BE；∠APE＝60°；（2）成立，理由見解析；（3）見解析

【解析】

（1）利用等邊三角形的性質和SAS可證△ABD≌△BCE，可得AD=BE，∠BAD=∠CBE，進一步即可求出∠APE的度數；

（2）同（1）的思路可證△ABD≌△BCE，從而可得AD=BE，∠BAD=∠CBE，再利用角的轉化和三角形的內角和即可求出∠APE的度數，進而可得結論；

（3）如圖3，過點E作EF∥BC交AB于點F，易得△AEF是等邊三角形，再利用AAS證明△MEF≌△MDB，問題即得解決.

解：（1）AD＝BE；∠APE＝60°.

理由是：如圖1，∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°，

又∵BD=CE，

∴△ABD≌△BCE（SAS），

∴AD=BE，∠BAD=∠CBE，

又∵∠APE=∠BAD+∠ABE，

∴∠APE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°；

（2）結論：“AD＝BE，∠APE＝60°”仍然成立.

理由如下：如圖2，∵△ABC是等邊三角形，

∴AB＝BC，∠ABC=∠ACB＝60°，

∴∠ABD=∠BCE＝120°，

又BD＝CE，

∴△ABD≌△BCE(SAS)，

∴AD＝BE，∠BAD=∠CBE，

∵∠ABP+∠CBE＝180°－∠ABC＝120°，

∴∠ABP+∠BAD＝120°，

∴∠APE＝180°－120°＝60°.

（3）證明：如圖3，過點E作EF∥BC交AB于點F，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC=∠ACB＝60°，

∴∠AFE=∠AEF＝60°，

則△AEF是等邊三角形，

∴EF＝AE＝BD，

又∠EFM＝∠DBM，∠EMF＝∠DMB，

∴△MEF≌△MDB（AAS），

∴EM＝DM，即點M是DE的中點.