Question

【題目】我們把對角線互相垂直的四邊形叫做垂美四邊形.

(1)（概念理解）在平行四邊形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四邊形的是___________.

(2)（性質探究）如圖2，試探索垂美四邊形ABCD的兩組對邊AB,CD與BC ，AD之間的數量關系，寫出證明過程。

(3)（問題解決）如圖3，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外做正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE,BG,GE, 已知AC=,BC=1 求GE的長.

Answer 1

【答案】菱形、正方形

【解析】（1）根據垂美四邊形的定義進行判斷即可；

（2）根據垂直的定義和勾股定理解答即可；

（3）根據垂美四邊形的性質、勾股定理、結合（2）的結論計算．

（1）菱形的對角線互相垂直，符合垂美四邊形的定義，

正方形的對角線互相垂直，符合垂美四邊形的定義，

而平行四邊形、矩形的對角線不一定垂直，不符合垂美四邊形的定義，

故答案為：菱形、正方形；

（2）猜想結論：AD2+BC2=AB2+CD2，證明如下：

如圖2，連接AC、BD，交點為E，則有AC⊥BD，

∵AC⊥BD，

∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，

由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，

AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，

∴AD2+BC2=AB2+CD2；

（3）連接CG、BE，設AB與CE的交點為M

∵∠CAG=∠BAE=90°，

∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，

又∵AG=AC,AB=AE，

∴△GAB≌△CAE(SAS)，

∴∠ABG=∠AEC，

又∠AEC+∠AME=90°，∠AME=∠BMC，

∴∠ABG+∠BMC=90°，即CE⊥BG，

∴四邊形CGEB是垂美四邊形，

由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，

∵AC=,BC=1 ∴AB=2,

∴ ,

∴ ,

∴ ,

GE的長是.