Question

【題目】閱讀下面材料：

對于平面圖形A，如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這個圓所覆蓋.

對于平面圖形A，如果存在兩個或兩個以上的圓，使圖形A上的任意一點到其中某個圓的圓心的距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這些圓所覆蓋.

例如：圖1中①的三角形被一個圓覆蓋，②中的四邊形被兩個圓所覆蓋.

回答下列問題：

(1)邊長為1 cm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是______ cm;

(2)邊長為1 cm的等邊三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是_____ cm;

(3)長為2 cm，寬為1 cm的矩形被兩個半徑均為r的圓所覆蓋，r的最小值是_____ cm.這兩個圓的圓心距是_____ cm.。

Answer 1

【答案】（1) ；

(2)；

(3) ， 1.

【解析】試題分析：（1）邊長為1 cm的正方形被一個半徑為r的圓所覆蓋，則r應大于等于正方形對角線的一半，即半徑最小為；（2）當圓外接三角形時圓的半徑最小，如圖，根據勾股定理可求得圓的半徑是；（3）根據對稱性可知兩圓的交點分別是AD和BC的中點，將矩形分成兩個相等的小正方形，圓的最小半徑就是小正方形的對角線的一半，圓心距就是小正方形的邊長.

（1)以正方形的對角線為直徑做圓是覆蓋正方形的最小圓，半徑r的最小值＝;

(2) 邊長為1 cm的等邊三角形被一個半徑為r的圓所覆蓋，這個最小的圓是正三角形的外接圓，如圖作三角形ABC的高AD構成直角三角形ABD，斜邊AB＝1，BD＝，

所以AD＝，因為三角形是正三角形，

所以∠ABC＝60°，O是外心，所以∠OBC=30°，OD＝OB，

設OA＝OB=x，則OD＝x，

在直角三角形OBD中，根據勾股定理列方程：，

解得：x＝.

(3)如圖：矩形ABCD中AB＝1，BC＝2，

則覆蓋ABCD的兩個圓與矩形交于E、F兩點，

由對稱性知E、F分別是AD和BC的中點，

則四邊形ABFE、EFCD是兩個邊長為1的正方形，

所以圓的半徑r＝, 兩圓心距＝ 1.