Question

1．若方程x2-

k-1

x-1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍

 

．
2．如圖，已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，以對角線BD為邊作正三角形BDE，過E作DA的延長線的垂線EF，垂足為F．
（1）找出圖中與EF相等的線段，并證明你的結論；
（2）求AF的長．

Answer 1

分析：1、根據x2-

k-1

x-1=0有兩個不相等的實數根，利用△＞0，解得k即可
2、（1）連接AE，利用△DBE是正三角形，求證△ABE∽△ADE，利用對應角相等再求證△EFA是等腰直角三角形即可．
（2）設AF=x，由勾股定理得x²+（2+x）²=（2

2

）²解此方程即可求得AF的長．

解答：解：1、∵x2-

k-1

x-1=0有兩個不相等的實數根，
∴△=

k-1

2+4＞0，
解得k＞1；

2、（1）AF=EF，
理由如下：連接AE，
∵△DBE是正三角形，
∴EB=ED，
∵AD=ABAE=AE，
∴△ABE∽△ADE，
∴∠BEA=∠DEA=

1

2

×60°=30°，
∵∠EDA=∠EDB-∠ADB=60°-45°=15°，
∴∠EAF=∠AED+∠ADE=45°，
∵EF⊥AD，
∴△EFA是等腰直角三角形，
∴EF=AF；

（2）設AF=x，
∵AD=2BD=2

2

=EDFD=2+x，
在Rt△EFD中，由勾股定理得EF²+FD²=ED²即x²+（2+x）²=（2

2

）²，
∴x=

3

-1（x=-

3

-1舍去），
∴AF=

3

-1．
答：AF的長為

3

-1．

點評：此題主要考查相似三角形的判定與性質，根的判別式，夠勾股定理，等邊三角形的性質，正方形的性質等知識點的理解和掌握，綜合性強，有一定的拔高難度，屬于中檔題．