Question

【題目】如圖，A，P，B，C是圓上的四個點，∠APC=∠CPB=60°，AP，CB的延長線相交于點D．

（1）求證：△ABC是等邊三角形；
（2）若∠PAC=90°，AB=2 ，求PD的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵∠ABC=∠APC，∠BAC=∠BPC，∠APC=∠CPB=60°，

∴∠ABC=∠BAC=60°，

∴△ABC是等邊三角形

（2）

解：∵△ABC是等邊三角形，AB=2 ，

∴AC=BC=AB=2 ，∠ACB=60°．

在Rt△PAC中，∠PAC=90°，∠APC=60°，AC=2 ，

∴AP=ACcot∠APC=2．

在Rt△DAC中，∠DAC=90°，AC=2 ，∠ACD=60°，

∴AD=ACtan∠ACD=6．

∴PD=AD﹣AP=6﹣2=4

【解析】（1）由圓周角定理可知∠ABC=∠BAC=60°，從而可證得△ABC是等邊三角形；（2）由△ABC是等邊三角形可得出“AC=BC=AB=2 ，∠ACB=60°”，在直角三角形PAC和DAC通過特殊角的正、余切值即可求出線段AP、AD的長度，二者作差即可得出結論．本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定及性質以及特殊角的三角函數值，解題的關鍵是：（1）找出三角形內兩角都為60°；（2）通過解直角三角形求出線段AD和AP得長度．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，通過解直角三角形找出各邊長度，再根據邊與邊之間的關系求出結論即可．