Question

【題目】如圖，O是△ABC內一點，⊙O與BC相交于F、G兩點，且與AB、AC分別相切于點D、E，DE∥BC，連接DF、EG．

（1）求證：AB=AC．
（2）已知AB=10，BC=12，求四邊形DFGE是矩形時⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵AD、AE是⊙O的切線，

∴AD=AE，

∴∠ADE=∠AED，

∵DE∥BC，

∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC；

（2）

解：如圖，連接AO，交DE于點M，延長AO交BC于點N，連接OE、DG，設⊙O半徑為r，

∵四邊形DFGE是矩形，

∴∠DFG=90°，

∴DG是⊙O直徑，

∵⊙O與AB、AC分別相切于點D、E，

∴OD⊥AB，OE⊥AC，

∵OD=OE，OE⊥AC，

∵OD=OE．

∴AN平分∠BAC，∵AB=AC，

∴AN⊥BC，BN= BC=6，

在RT△ABN中，AN= = =8，

∵OD⊥AB，AN⊥BC，

∴∠ADO=∠ANB=90°，

∵∠OAD=∠BAN，

∴△AOD∽△ABN，

∴ = ，即 = ，

∴AD= r，

∴BD=AB﹣AD=10﹣ r，

∵OD⊥AB，

∴∠GDB=∠ANB=90°，

∵∠B=∠B，

∴△GBD∽△ABN，

∴ = ，即 = ，

∴r= ，

∴四邊形DFGE是矩形時⊙O的半徑為

【解析】（1）由切線長定理可知AD=AE，易得∠ADE=∠AED，因為DE∥BC，由平行線的性質得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，可得∠B=∠C，易得AB=AC；（2）如圖，連接AO，交DE于點M，延長AO交BC于點N，連接OE、DG，設⊙O半徑為r，由△AOD∽△ABN得 = ，得到AD= r，再由△GBD∽△ABN得 = ，列出方程即可解決問題．
【考點精析】關于本題考查的矩形的性質和切線的性質定理，需要了解矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能得出正確答案．