Question

【題目】操作：小明準(zhǔn)備制作棱長為1cm的正方體紙盒，現(xiàn)選用一些廢棄的紙片進(jìn)行如下設(shè)計：
說明：
方案一：圖形中的圓過點A、B、C；
方案二：直角三角形的兩直角邊與展開圖左下角的正方形邊重合，斜邊經(jīng)過兩個正方形的頂點
紙片利用率= ×100%
發(fā)現(xiàn)：

（1）方案一中的點A、B恰好為該圓一直徑的兩個端點．你認(rèn)為小明的這個發(fā)現(xiàn)是否正確，請說明理由．
（2）小明通過計算，發(fā)現(xiàn)方案一中紙片的利用率僅約為38.2%．請幫忙計算方案二的利用率，并寫出求解過程．
探究：
（3）小明感覺上面兩個方案的利用率均偏低，又進(jìn)行了新的設(shè)計（方案三），請直接寫出方案三的利用率．
說明：方案三中的每條邊均過其中兩個正方形的頂點．

Answer 1

【答案】
（1）

解：發(fā)現(xiàn)：小明的這個發(fā)現(xiàn)正確．

理由：

解法一：如圖一：連接AC、BC、AB，

∵AC=BC=，AB=2

∴AC2+BC2=AB2，

∴∠BCA=90°，

∴AB為該圓的直徑．

解法二：如圖二

：連接AC、BC、AB．

易證△AMC≌△BNC，

∴∠ACM=∠CBN．

又∵∠BCN+∠CBN=90°，

∴∠BCN+∠ACM=90°，

即∠BCA=90°，

∴AB為該圓的直徑．

（2）

解：如圖三：

∵DE=FH，DE∥FH，

∴∠AED=∠EFH，

∵∠ADE=∠EHF=90°，

∴△ADE≌△EHF（ASA），

∴AD=EH=1．

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ACB，

∴ ，

∴ ，

∴BC=8，

∴S△ACB=16．

∴該方案紙片利用率= ×100%= ×100%=37.5%；

（3）

解：

探究：過點C作CD⊥EF于D，過點G作GH∥AC，交BC于點H，

設(shè)AP=a，

∵PQ∥EK，

易得△APQ∽△KQE，△CEF是等腰三角形，△GHL是等腰三角形，

∴AP：AQ=QK：EK=1：2，

∴AQ=2a，PQ= a，

∴EQ=5a，

∵EC：ED=QE：QK，

∴EC= a，

則PG=5a+ a= a，GL= a，

∴GH= a，

∵ ，

解得：GB= a，

∴AB= a，AC= a，

∴S△ABC= span> ×AB×AC= a2，

S展開圖面積=6×5a2=30a2，

∴該方案紙片利用率= ×100%= ×100%=49.86%．

【解析】（1）連接AC、BC、AB，由AC=BC= ，AB= ，根據(jù)勾股定理的逆定理，即可求得∠BAC=90°，又由90°的圓周角所對的弦是直徑，則可證得AB為該圓的直徑；（2）首先證得△ADE≌△EHF與△ADE∽△ACB，即可求得AD與BC的長，求得△ABC的面積，即可求得該方案紙片利用率；（3）利用方案（2）的方法，分析求解即可求得答案．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用幾何體的展開圖和勾股定理的概念的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握沿多面體的棱將多面體剪開成平面圖形，若干個平面圖形也可以圍成一個多面體；同一個多面體沿不同的棱剪開，得到的平面展開圖是不一樣的，就是說：同一個立體圖形可以有多種不同的展開圖；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．