Question

如圖①，點A′，B′的坐標分別為（2，0）和（0，-4），將△A′B′O繞點O按逆時針方向旋90°轉后得△ABO，點A′的對應點是點A，點B′的對應點是點B。
（1）寫出A，B兩點的坐標，并求出直線AB的解析式；
（2）將△ABO沿著垂直于x軸的線段CD折疊，（點C在x軸上，點D在AB上，點D不與A，B重合）如圖②，使點B落在x軸上，點B的對應點為點E，設點C的坐標為（x，0），△CDE與△ABO重疊部分的面積為S。
i）試求出S與x之間的函數關系式（包括自變量x的取值范圍）；
ii）當x為何值時，S的面積最大？最大值是多少？
iii）是否存在這樣的點C，使得△ADE為直角三角形？若存在，直接寫出點C的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1） ，
設直線AB的解析式，
則有，解得
∴直線AB的解析式為；
（2）i）①點E在原點和x軸正半軸上時，重疊部分是，
則

當E與O重合時，，
∴
②當E在x軸的負半軸上時，設DE與y軸交于點F，則重疊部分為梯形，
∴
∴
∴
又∵，
∴
∴
當點C與點O重合時，點C的坐標為，
∴
綜合①②得；
ii）①當時，
∴ 對稱軸是x=4，
∵拋物線開口向上，
∴在中，S隨x的增大而減小，
∴當x=2時，S的最大值=，
②當時，
∴對稱軸是
∵拋物線開口向下，
∴當時，S有最大值為，
∴綜合①②當時，S有最大值為 
iii）存在，點C的坐標為和
詳解：①當以點A為直角頂點時，作交x軸負半軸于點E，
∵
∴
∵
∴
∴點E坐標為（-1，0），
∴點C的坐標為
②當以點E為直角頂點時，同樣有

∴
∴
∴點C的坐標，
綜合①②知滿足條件的坐標有和。