Question

【題目】如圖，AB是以BC為直徑的半圓O的切線，D為半圓上一點，AD=AB，AD，BC的延長線相交于點E．

（1）求證：AD是半圓O的切線；
（2）連結CD，求證：∠A=2∠CDE；
（3）若∠CDE=27°，OB=2，求 的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接OD，BD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴AB⊥BC，即∠ABO=90°，

∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB，

∵OB=OD，

∴∠DBO=∠BDO，

∴∠ABD+∠DBO=∠ADB+∠BDO，

∴∠ADO=∠ABO=90°，

∴AD是半圓O的切線；

（2）

證明：由（1）知，∠ADO=∠ABO=90°，

∴∠A=360°﹣∠ADO﹣∠ABO﹣∠BOD=180°﹣∠BOD，

∵AD是半圓O的切線，

∴∠ODE=90°，

∴∠ODC+∠CDE=90°，

∵BC是⊙O的直徑，

∴∠ODC+∠BDO=90°，

∴∠BDO=∠CDE，

∵∠BDO=∠OBD，

∴∠DOC=2∠BDO，

∴∠DOC=2∠CDE，

∴∠A=∠CDE

（3）

解：

∵∠CDE=27°，

∴∠DOC=2∠CDE=54°，

∴∠BOD=180°﹣54°=126°，

∵OB=2，

∴ 的長= = π．

【解析】（1）連接OD，BD，根據圓周角定理得到∠ABO=90°，根據等腰三角形的性質得到∠ABD=∠ADB，∠DBO=∠BDO，根據等式的性質得到∠ADO=∠ABO=90°，根據切線的判定定理即可得到即可；（2）由AD是半圓O的切線得到∠ODE=90°，于是得到∠ODC+∠CDE=90°，根據圓周角定理得到∠ODC+∠BDO=90°，等量代換得到∠DOC=2∠BDO，∠DOC=2∠CDE即可得到結論；（3）根據已知條件得到∠DOC=2∠CDE=54°，根據平角的定義得到∠BOD=180°﹣54°=126°，然后由弧長的公式即可計算出結果．本題考查了切線是性質，弧長的計算，圓周角定理，等腰三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．