Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AC與BD交于點O，E是BD上一點，EF//AB，∠EAB=∠EBA，過點B作DA的垂線，交DA的延長線于點G．

（1）∠DEF和∠AEF是否相等？若相等，請證明；若不相等，請說明理由；

（2）找出圖中與ΔAGB相似的三角形，并證明；

（3）BF的延長線交CD的延長線于點H，交AC于點M．求證：BM2=MFMH．

Answer 1

【答案】（1），理由見解析；（2），證明見解析；（3）證明見解析.

【解析】（1）先判斷出∠DEF=∠EBA，∠AEF=∠EAB，即可得出結論；

（2）先判斷出∠GAB=∠ABE+∠ADB=2∠ABE，進而得出∠GAB=∠AEO，即可得出結論；

（3）先判斷出BM=DM，∠ADM=∠ABM，進而得出∠ADM=∠H，判斷出△MFD∽△MDH，即可得出結論．

（1）∠DEF=∠AEF，理由如下：

∵EF∥AB，∴∠DEF=∠EBA，∠AEF=∠EAB．

∵∠EAB=∠EBA，∴∠DEF=∠AEF；

（2）△EOA∽△AGB，理由如下：

∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，AC⊥BD，

∴∠GAB=∠ABE+∠ADB=2∠ABE．

∵∠AEO=∠ABE+∠BAE=2∠ABE．

∵∠GAB=∠AEO，∠GAB=∠AOE=90°，∴△EOA∽△AGB；

（3）如圖，連接DM．

∵四邊形ABCD是菱形，由對稱性可知，BM=DM，∠ADM=∠ABM．

∵AB∥CH，∴∠ABM=∠H，∴∠ADM=∠H．

∵∠DMH=∠FMD，∴△MFD∽△MDH，∴，∴DM2=MFMH，

∴BM2=MFMH．