Question

【題目】如圖，半圓O的直徑AB＝20，弦CD∥AB，動點M在半徑OD上，射線BM與弦CD相交于點E（點E與點C、D不重合），設OM＝m．

（1）求DE的長（用含m的代數式表示）；

（2）令弦CD所對的圓心角為α，且sin．

①若△DEM的面積為S，求S關于m的函數關系式，并求出m的取值范圍；

②若動點N在CD上，且CN＝OM，射線BM與射線ON相交于點F，當∠OMF＝90° 時，求DE的長．

Answer 1

【答案】（1）DE＝；（2）①S＝，（＜m＜10），②DE＝.

【解析】

（1）由CD∥AB知△DEM∽△OBM，可得，據此可得；

（2）①連接OC、作OP⊥CD、MQ⊥CD，由OC＝OD、OP⊥CD知∠DOP＝∠COD，據此可得sin∠DOP＝sin∠DMQ＝、sin∠ODP＝，繼而由OM＝m、OD＝10得QM＝DMsin∠ODP＝（10﹣m），根據三角形的面積公式即可得；如圖2，先求得PD＝8、CD＝16，證△CDM∽△BOM得，求得OM＝，據此可得m的取值范圍；

②如圖3，由BM＝OBsin∠BOM＝10×＝6，可得OM＝8，根據（1）所求結果可得答案．

（1）∵CD∥AB，

∴△DEM∽△OBM，

∴，即，

∴DE＝；

（2）①如圖1，連接OC、作OP⊥CD于點P，作MQ⊥CD于點Q，

∵OC＝OD、OP⊥CD，

∴∠DOP＝∠COD，

∵sin＝，

∴sin∠DOP＝sin∠DMQ＝，sin∠ODP＝，

∵OM＝m、OD＝10，

∴DM＝10﹣m，

∴QM＝DMsin∠ODP＝（10﹣m），

則S△DEM＝DEMQ＝××（10﹣m）＝，

如圖2，

∵PD＝ODsin∠DOP＝10×＝8，

∴CD＝16，

∵CD∥AB，

∴△CDM∽△BOM，

∴，即，

解得：OM＝，

∴＜m＜10，

∴S＝，（＜m＜10）．

②當∠OMF＝90°時，如圖3，

則∠BMO＝90°，

在Rt△BOM中，BM＝OBsin∠BOM＝10×＝6，

則OM＝8，

由（1）得DE＝．