Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，∠A＝30°，AB是⊙O的直徑，過點C作⊙O的切線，交AB延長線于D，CD＝3cm，

（1）求⊙O的直徑。
（2）若動點M以3cm/s的速度從點A出發沿AB方向運動。同時點N以1.5cm/s的速度從B點出發沿BC方向運動。設運動的時間為t(0≤t≤2)，連結MN，當t為何值時△BMN為Rt△？并求此時該三角形的面積？

Answer 1

（1）6cm
（2）（cm²）

（1）解：∵AB是⊙O的直徑.
∴∠ACB＝90°  ……………………（0.5＇）
又∠A＝30°
∴∠ABC＝60° ………………………（1＇）
連接OC，因CD切⊙O于C，則∠OCD＝90°  …………（2＇）
在△OBC中
∵OB＝OC，∠ABC＝60°
∴∠OCB＝60°
∴∠BCD＝30°      …………………………………（2.5＇）
又∠OBC＝∠BCD＋∠D
∴∠D＝30° …………………………………………（3＇）
∴AC＝CD＝3 …………………………………（3.5＇）
在Rt△ABC中，cosA＝
∴AB＝＝＝6（cm）……………………（5＇）
（2）△BMN中，①當∠BNM＝90°時，cos∠MBC＝

即cos60°＝           ∴t＝1     ………（6＇）
此時BM＝3   BN＝1.5   MN＝＝   ……（7＇）
∴S△_BMN＝BN·MN＝ （cm²）    …………………（8＇）
②當∠NMB＝90°時，cos∠MBC＝

即cos60°＝       ∴ t＝1.6    ………………（9＇）
此時BM＝ BN＝  MN＝＝  （10＇）
∴S△_BMN＝ BM·MN＝××＝（cm²） ………………（11＇）