Question

【題目】問題發現

如圖和均為等邊三角形，點在同一直線上，連接BE．

填空：

的度數為______；

線段之間的數量關系為______．

拓展探究

如圖和均為等腰直角三角形，，點在同一直線上，CM為中DE邊上的高，連接BE，請判斷的度數及線段之間的數量關系，并說明理由．

解決問題

如圖3，在正方形ABCD中，，若點P滿足，且，請直接寫出點A到BP的距離．

Answer 1

【答案】；；，理由見解析； 點A到BP的距離為或．

【解析】分析：（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數．

（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．

（3）由PD=1可得：點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點P在以BD為直徑的圓上．顯然，點P是這兩個圓的交點，由于兩圓有兩個交點，接下來需對兩個位置分別進行討論．然后，添加適當的輔助線，借助于（2）中的結論即可解決問題．

詳解：（1）①如圖1．∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∵，

∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC．

∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．

∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．

故答案為：60°．

②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．

故答案為：AD=BE．

（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．

理由：如圖2．∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∵，

∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．

∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．

∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．

∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．

∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．

（3）點A到BP的距離為或．

理由如下：

∵PD=1，∴點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上．

∵∠BPD=90°，∴點P在以BD為直徑的圓上，∴點P是這兩圓的交點．

①當點P在如圖3①所示位置時，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過點A作AE⊥AP，交BP于點E，如圖3①．

∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°，∴BD=2．

∵DP=1，∴BP=．

∵∠BPD=∠BAD=90°，∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上，∴∠APB=∠ADB=45°，∴△PAE是等腰直角三角形．

又∵△BAD是等腰直角三角形，點B、E、P共線，AH⊥BP，∴由（2）中的結論可得：BP=2AH+PD，∴=2AH+1，∴AH=．

②當點P在如圖3②所示位置時，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過點A作AE⊥AP，交PB的延長線于點E，如圖3②．

同理可得：BP=2AH﹣PD，∴=2AH﹣1，∴AH=．

綜上所述：點A到BP的距離為或．