Question

【題目】如圖，在中，，點M是AC的中點，以AB為直徑作分別交于點．

求證：；

填空：

若，當時，______；

連接，當的度數為______時，四邊形ODME是菱形．

Answer 1

【答案】證明見解析；2；．

【解析】分析：（1）先證明∠A=∠ABM，再證明∠MDE=∠MBA，∠MED=∠A即可解決問題．

（2）①由DE∥AB，得=即可解決問題．

②當∠A=60°時，四邊形ODME是菱形，只要證明△ODE，△DEM都是等邊三角形即可．

詳解：（1）證明：∵∠ABC=90°，AM=MC，∴BM=AM=MC，∴∠A=∠ABM．∵四邊形ABED是圓內接四邊形，∴∠ADE+∠ABE=180°，又∠ADE+∠MDE=180°，∴∠MDE=∠MBA，同理證明：∠MED=∠A，∴∠MDE=∠MED，∴MD=ME．

（2）①由（1）可知，∠A=∠MDE，∴DE∥AB，∴=．∵AD=2DM，∴DM：MA=1：3，∴DE=AB=×6=2．

故答案為：2．

②當∠A=60°時，四邊形ODME是菱形．理由如下：

連接OD、OE．∵OA=OD，∠A=60°，∴△AOD是等邊三角形，∴∠AOD=60°．∵DE∥AB，∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，∴△ODE，△DEM都是等邊三角形，∴OD=OE=EM=DM，∴四邊形OEMD是菱形．

故答案為：60°．