Question

【題目】如圖1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直徑，⊙O交AC于點D，過點D的直線交BC于點E，交AB的延長線于點P，且∠A=∠PDB．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）如圖2，點M是 的中點，連接DM，交AB于點N，若tan∠A=，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析;（2）.

【解析】試題分析：（1）如圖，作輔助線；要證明PD是⊙O的切線，只要證明∠PDO=90°，運用切線的判定定理，即可解決問題．

（2）如圖，直接求出的值，非常困難；因此，需要作輔助線，構造相似三角形；運用已知條件tan∠A=，結合圖形，聯想勾股定理，設出BD=x，求出AB的長度；進而求出DF的長度；運用△OMN∽△FDN，得到，即可解決問題．

試題解析：（1）連結OD；

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，OA=OB，∠A+∠ABD=90°；

又∵OA=OB=OD，

∴∠ADO=∠A，∠BDO=∠ABD；

又∵∠A=∠PDB，

∴∠PDB+∠BD0=90°，

即∠PDO=90°，且D在圓上，

∴PD是⊙O的切線．

（2）連結OM，過D作DF⊥AB于F；

∵點M是的中點，

∴OM⊥AB；設BD=x，

∵tan∠A=，

∴AD=4x；由勾股定理得：

AB= ；

由三角形的面積公式得： ADBD=ABDF，

∴DF=x；

∵OM∥DF，

∴△OMN∽△FDN，

∴，DF=x，OM=x，

∴．