Question

(6分)如圖，在菱形ABCD中，E是AD的中點，EF⊥AC交CB的延長線于點F．

小題1: (1)DE和BF相等嗎?請說明理由；
小題2: (2)連接AF、BE，四邊形AFBE是平行四邊形嗎?說明理由．

Answer 1

小題1:(1)相等，連接BD，證明四邊形DEFB是平行四邊形，則BF=DE=AE
小題2:(2)是平行四邊形，理由是AE平行且等于BF

分析：
（1）設AB、EF相交于G，連接BD，根據菱形的對角線互相垂直可得BD⊥AC，然后求出EG∥BD，判斷出EG是△ABD的中位線，從而求出AG=BG，再根據兩直線平行，內錯角相等求出∠AEG=∠BFG，利用“角角邊”證明△AEG和△BFG全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=BF，從而求出DE=BF；
（2）根據一組對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形解答。
解答：

（1）DE=BF．理由如下：如圖。
設AB、EF相交于G，連接BD，
在菱形ABCD中，BD⊥AC，
∵EF⊥AC，
∴EG∥BD，
∵E是AD中點，
∴EG是△ABD的中位線，
∴AG=BG，
又∵AD∥BC，
∴∠AEG=∠BFG，
在△AEG和△BFG中，∠AEG=∠BFG、∠AGE=∠BGF、AG=BG，
∴△AEG≌△BFG（AAS），
∴AE=BF，
∵E是AD中點，
∴AE=DE，
∴DE=BF。
（2）四邊形AFBE是平行四邊形。
理由如下：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴AE∥BF，
又∵AE=BF，
∴四邊形AFBE是平行四邊形。
點評：本題考查了菱形的性質，平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質，主要利用了菱形的對角線互相垂直的性質，作輔助線構造出全等三角形的是解題的關鍵，也是本題的難點。