Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0）和B（l，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的表達式；

（2）作射線AC，將射線AC繞點A順時針旋轉90°交拋物線于另一點D，在射線AD上是否存在一點H，使△CHB的周長最小．若存在，求出點H的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）在（2）的條件下，點Q為拋物線的頂點，點P為射線AD上的一個動點，且點P的橫坐標為t，過點P作x軸的垂線l，垂足為E，點P從點A出發沿AD方向運動，直線l隨之運動，當﹣2＜t＜1時，直線l將四邊形ABCQ分割成左右兩部分，設在直線l左側部分的面積為S，求S關于t的函數表達式．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；（2）點H坐標為（﹣，﹣）；（3）．

【解析】

（1）根據A，B坐標寫出交點式，可得函數解析式；

（2）如圖1，延長CA到C'，使AC'＝AC，連接BC'，BC'與AD的交點即為滿足條件的點H，分別求出AC與AD的解析式和點C坐標，再求出BC'解析式，聯立AD與BC'的解析式，可得點H；

（3）存在3種情況，一種是點P在拋物線對稱軸的左側，一種是在右側且在x軸負半軸，還有一種是在x軸正半軸，然后再根據幾何圖形特點求解.

（1）拋物線與x軸交于點A（﹣2，0）和B（l，0）

∴交點式為y＝﹣（x+2）（x﹣1）＝﹣（x2+x﹣2）

∴拋物線的表示式為y＝﹣x2﹣x+2

（2）在射線AD上存在一點H，使△CHB的周長最小．

如圖1，延長CA到C'，使AC'＝AC，連接BC'，BC'與AD交點即為滿足條件的點H

∵x＝0時，y＝﹣x2﹣x+2＝2

∴C（0，2）

∴OA＝OC＝2

∴∠CAO＝45°，直線AC解析式為y＝x+2

∵射線AC繞點A順時針旋轉90°得射線AD

∴∠CAD＝90°

∴∠OAD＝∠CAD﹣∠CAO＝45°

∴直線AD解析式為y＝﹣x﹣2

∵AC'＝AC，

∴C'（﹣4，﹣2），

設直線BC'解析式為y＝kx+a

∴

解得：

∴直線BC'：y＝x﹣

∵，解得：，

∴點H坐標為（﹣，﹣）；

（3）∵y＝﹣x2﹣x+2＝﹣（x+）2+

∴拋物線頂點Q（﹣，）

①當﹣2＜t≤﹣時，如圖2，直線l與線段AQ相交于點F

設直線AQ解析式為y＝mx+n

∴，解得：

∴直線AQ：y＝x+3

∵點P橫坐標為t，PF⊥x軸于點E

∴F（t，t+3）

∴AE＝t﹣（﹣2）＝t+2，FE＝t+3，

∴S＝S△AEF＝AEEF＝（t+2）（t+3）＝t2+3t+3；

②當﹣＜t≤0時，如圖3，直線l與線段QC相交于點G，過點Q作QM⊥x軸于M

∴AM＝﹣﹣（﹣2）＝，QM＝

∴S△AQM＝AMQM＝

設直線CQ解析式為y＝qx+2

把點Q代入：﹣q+2＝，解得：q＝﹣

∴直線CQ：y＝﹣x+2

∴G（t，﹣t+2）

∴EM＝t﹣（﹣）＝t+，GE＝﹣t+2

∴S梯形MEGQ＝（QM+GE）ME＝（﹣t+2）（t+）＝﹣t2+2t+

∴S＝S△AQM+S梯形MEGQ＝+（﹣t2+2t+）＝﹣t2+2t+；

③當0＜t＜1時，如圖4，直線l與線段BC相交于點N

設直線BC解析式為y＝rx+2

把點B代入：r+2＝0，解得：r＝﹣2

∴直線BC：y＝﹣2x+2

∴N（t，﹣2t+2）

∴BE＝1﹣t，NE＝﹣2t+2

∴S△BEN＝BENE＝（1﹣t）（﹣2t+2）＝t2﹣2t+1

∵S梯形MOCQ＝（QM+CO）OM＝×（+2）×＝，S△BOC＝BOCO＝×1×2＝1

∴S＝S△AQM+S梯形MOCQ+S△BOC﹣S△BEN＝++1﹣（t2﹣2t+1）＝－t2＋2t+；

綜上所述，S＝