Question

（1998•南京）已知：如圖，點P在∠AOB的邊OA上．
（1）作圖（保留作圖痕跡）
①作∠AOB的平分線OM；
②以P為頂點，作∠APQ=∠AOB，PQ交OM于點C；
③過點C作CD⊥OB，垂足為點D．
（2）當∠AOB=30°時，求證：PC=2CD．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線的作法以及作一角等于已知角進而得出圖形即可；
（2）利用在直角三角形中30度所對邊等于斜邊的一半得出即可．

解答：解：（1）如圖所示：

（2）過點P作PF⊥OB于點F，
∵∠APC=∠AOB，
∴PC∥OB，
∴∠PCO=∠POC，
∵OM平分∠AOB，
∴∠AOC=∠MOB，
∴∠POC=∠PCO，
∴OP=PC，
∵∠AOB=30°，∠PFO=90°，
∴PF=

1

2

OP，
∵PC∥OB，PF⊥OB，CD⊥BO，
∴PF=DC，
∴DC=

1

2

OP=

1

2

PC，
即PC=2CD．

點評：本題主要考查了角平分線的作法以及作一角等于已知角以及到角平分線的性質等知識，利用平行線的性質以及30度所對邊等于斜邊的一半得出是解題關鍵．