Question

（1998•南京）已知：如圖，△ABC內接于⊙O，過圓心O作BC的垂線交⊙O于點P、Q，交AB于點D，QP、CA的延長線交于點E．求證：OA²=OD•OE．

Answer 1

分析：作直徑AM，連接BM，求出∠E=∠DAO，公共角∠DOA=∠DOA，推出△DOA∽△AOE，得出比例式，即可得出答案．

解答：證明：作直徑AM，連接BM，
∵∠C和∠M都對弧AB，
∴∠C=∠M，
∵OQ⊥BC，
∴∠EQC=90°，
∴∠C+∠E=90°，
∵AM為⊙O直徑，
∴∠ABM=90°，
∴∠M+∠OAD=90°，
∴∠E=∠OAD，
∵∠DOA=∠DOA，
∴△DOA∽△AOE，
∴

OA

OD

=

OE

OA

，
即OA²=OD•OE．

點評：本題考查了圓周角定理和相似三角形的性質和判定的應用，注意：直徑所對的圓周角是直角，相似三角形的對應邊的比相等．