Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx-3經過A（-1,0）、B（3,0）兩點，與y軸交于C點，

（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖①，拋物線的對稱軸上有一點P，且點P在x軸下方，線段PB繞點P順時針旋轉90°，點B的對應點B′恰好落在拋物線上，求點P的坐標；
（3）如圖②，直線y= x+ 交拋物線于A、E兩點，點D為線段AE上一點，連接BD，有一動點Q從B點出發，沿線段BD以每秒1個單位的速度運動到D，再沿DE以每秒鐘2個單位的速度運動到E，問：是否存在點D，使點Q從點B到E的運動時間最少，若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】
（1）

解：將A（-1,0）、B（3,0）代入拋物線y=ax2+bx-3可得

，解得

∴拋物線的解析式為：y=x2-2x-3.

（2）

解：作B′M⊥對稱軸，垂足為M，

∵∠BPB′=90°,

∴∠BPN+∠B′PM=90°，

∵∠BPN+∠PBN=90°，

∴∠PBN=∠B′PM，

∵∠BNP=∠PMB′=90°，PB=PB′，

∴△BNP≌△PMB′，

∴BN=PM，PN=MB′，

由A（-1,0）、B（3,0）得對稱軸為 x=1，

∴BN=3-1=2,

設P（1，m），∴B′（1-m，m-2）,

將B′（1-m，m-2）代入y=x2-2x-3，得（1-m）2-2（1-m）-3=m-2,

解得m1=-1,m2=2，

∵點P在x軸下方，∴m=-1，

∴P（1，-1）.

（3）

解：存在.∵直線y= 與y軸的交點為：G(0, ),

與x軸的交點為：A(-1，0)，

∴tan∠GAO= ，∴∠GAO=30°，

過點E作EF∥x軸，過點D作DF⊥EF，垂足為F，

∴∠FED=∠GAO=30°，∴DE=2DF，DF= ，

設點Q的運動時間為t秒，則：t= ，

∴當BD⊥x軸時，此時，B、D、F在同一直線上，且BF⊥EF，

根據垂線段最短可得：此時BD+DF最小，

此時點Q的運動時間t秒最少，如下圖：

將x=3代入y= 得y= ,

∴D（3， ）.

【解析】（1）將A（-1,0），B（3,0）代入拋物線解析式，列得方程組解出a，b即可；（2）作B′M⊥對稱軸，垂足為M，證明△BNP≌△PMB′，可設P（1，m），用m表示出點B′的坐標，將其代入拋物線解析式，即可求得m；（3）由題可知要求“t= ”的最小值；過點E作EF∥x軸，過點D作DF⊥EF，垂足為F，由直線y= 易證得∠FED=∠GAO=30°，則可得DF= ，即 ，則當B，D，F三點一線時，BD+DF最小.
【考點精析】通過靈活運用二次函數的圖象和二次函數的性質，掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．