Question

如圖，已知點A、B分別在x軸、y軸上，AB=12，∠OAB=30°，經過A、B的直線l以每秒1個單位的速度向下作勻速平移運動，與此同時，點P從點B出發，在直線l上以每秒1個單位的速度沿直線l向右下方向作勻速運動．設它們運動的時間為t秒．
（1）直接寫出A、B點坐標是A點

 

，B點

 

；
（2）用含t的代數式求出表示點P的坐標；
（3）過O作OC⊥l于C，過C作CD⊥x軸于D，問：t為何值時，以P為圓心、1為半徑的圓與直線OC相切？并寫出此時⊙P與直線CD的位置關系．

Answer 1

分析：（1）根據Rt△OAB中，根據“30°所對的直角邊是斜邊的一半”求得OB=6；然后利用勾股定理求得OA=6

3

，從而求得點A、B的坐標；
（2）結合題意，利用解直角三角形的知識進行求解；
（3）此題應分作兩種情況考慮：
①當P位于OC左側，⊙P與OC第一次相切時，易證得∠COB=∠BAO=30°，設直線l與OC的交點為M，根據∠BOC的度數，即可求得B′M、PM的表達式，而此時⊙P與OC相切，可得PM=1，由此可列出關于t的方程，求得t的值，進而可判斷出⊙P與CD的位置關系；
②當P位于OC右側，⊙P與OC第二次相切時，方法與①相同．

解答：解：（1）在Rt△OAB中，AB=12，∠OAB=30°，
∴OB=6（30°所對的直角邊是斜邊的一半），
OA=6

3

（勾股定理），
∴A(6

3

，0)，B(0，6)；

（2）作PF⊥y軸于F．
∵∠BAO=30°．
∴在直角三角形PFB′中，PB′=t，∠B′PF=30°，
則B′F=

t

2

，PF=

3

2

t．
又BB′=t，
∴OF=OB-BB′-B′F=6-t-

t

2

=6-

3

2

t，
則P點的坐標為（

3

2

t，6-

3

2

t）．

（3）此題應分為兩種情況：
①當⊙P和OC第一次相切時，
設直線B′P與OC的交點是M．
根據題意，知∠BOC=∠BAO=30°．
則B′M=

1

2

OB′=3-

t

2

，
∵PB′=t
∴PM=B′M-PB′=3-

3

2

t．
根據直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，得
3-

3

2

t=1，t=

4

3

．
此時⊙P與直線CD顯然相離；
②當⊙P和OC第二次相切時，
則有

3

2

t-3=1，t=

8

3

．
此時⊙P與直線CD顯然相交．
答：當t=

4

3

或

8

3

時⊙P和OC相切，t=

4

3

時⊙P和直線CD相離，當t=

8

3

時⊙P和直線CD相交．

點評：此題考查了一次函數綜合題．解題時，要求學生具有解直角三角形、直線和圓的位置關系等知識的綜合應用能力，難度較大．