Question

【題目】若邊長為6的正方形ABCD繞點A順時針旋轉，得正方形AB′C′D′，記旋轉角為a．

（I）如圖1，當a＝60°時，求點C經過的弧的長度和線段AC掃過的扇形面積；

（Ⅱ）如圖2，當a＝45°時，BC與D′C′的交點為E，求線段D′E的長度；

（Ⅲ）如圖3，在旋轉過程中，若F為線段CB′的中點，求線段DF長度的取值范圍．

Answer 1

【答案】（I）12π；（Ⅱ）D′E＝6﹣6；（Ⅲ）3﹣3≤DF≤3+3．

【解析】

（Ⅰ）根據正方形的性質得到AD＝CD＝6，∠D＝90°，由勾股定理得到AC＝6，根據弧長的計算公式和扇形的面積公式即可得到結論；

（Ⅱ）連接BC′，根據題意得到B在對角線AC′上，根據勾股定理得到AC′＝＝6，求得BC′＝6﹣6，推出△BC′E是等腰直角三角形，得到C′E＝BC′＝12﹣6，于是得到結論；

（Ⅲ）如圖3，連接DB，AC相交于點O，則O是DB的中點，根據三角形中位線定理得到FO＝AB′＝3，推出F在以O為圓心，3為半徑的圓上運動，于是得到結論．

解：（Ⅰ）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝CD＝6，∠D＝90°，

∴AC＝6，

∵邊長為6的正方形ABCD繞點A順時針旋轉，得正方形AB′C′D′，

∴∠CAC′＝60°，

∴的長度＝＝2π，線段AC掃過的扇形面積＝＝12π；

（Ⅱ）解：如圖2，連接BC′，

∵旋轉角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°，

∴B在對角線AC′上，

∵B′C′＝AB′＝6，

在Rt△AB′C′中，AC′＝＝6，

∴BC′＝6﹣6，

∵∠C′BE＝180°﹣∠ABC＝90°，∠BC′E＝90°﹣45°＝45°，

∴△BC′E是等腰直角三角形，

∴C′E＝BC′＝12﹣6，

∴D′E＝C′D′﹣EC′＝6﹣（12﹣6）＝6﹣6；

（Ⅲ）如圖3，連接DB，AC相交于點O，

則O是DB的中點，

∵F為線段BC′的中點，

∴FO＝AB′＝3，

∴F在以O為圓心，3為半徑的圓上運動，

∵DO＝3，

∴DF最大值為3+3，DF的最小值為3﹣3，

∴DF長的取值范圍為3﹣3≤DF≤3+3．