Question

已知拋物線y=x²+4x+m（m為常數）經過點（0，4）
（1）求m的值；
（2）將該拋物線先向右、再向下平移得到另一條拋物線．已知這條平移后的拋物線滿足下述兩個條件：它的對稱軸（設為直線l₂）與平移前的拋物線的對稱軸（設為l₁）關于y軸對稱；它所對應的函數的最小值為-8．
①試求平移后的拋物線所對應的函數關系式；
②試問在平移后的拋物線上是否存在著點P，使得以3為半徑的⊙P既與x軸相切，又與直線l₂相交？若存在，請求出點P的坐標，并求出直線l₂被⊙P所截得的弦AB的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將（0，4）代入拋物線，得：0²+4×0+m=4，解得m=4；
（2）①根據（1）求出的拋物線，可知其對稱軸，平移后的拋物線的對稱軸與平移前的對稱軸關于y軸對稱，即可求出新拋物線對稱軸，再根據第二個條件，最小值為-8，即可求出平移后的拋物線的關系式；
②該題需要分情況討論，假設p點存在，且p在x軸上方，根據題意可知，p的縱坐標是3，代入關系式求解，求出p點坐標，在驗證該點是否在直線上；若p在y軸下方，則p的縱坐標是-3，代入關系式，求出坐標，再進行檢驗．

解答：解：（1）依題意得：0²+4×0+m=4，解得m=4（3分）

（2）①由（1）得：y=x²+4x+4=（x+2）²，
∴對稱軸為直線l₁：x=-2（4分）
依題意得平移后的拋物線的對稱軸為直線l₂：x=2（5分）
故設平移后的拋物線所對應的函數關系式為y=（x-2）²+k（6分）
∵此函數最小值為-8，
∴k=-8
即平移后的拋物線所對應的函數關系式為y=（x-2）²-8=x²-4x-4（7分）
②存在．理由如下：
由①知平移后的拋物線的對稱軸為直線l₂：x=2
當點P在x軸上方時，∵⊙P與x軸相切，
∴令y=x²-4x-4=3，
解得x=2±

11

（8分）
∵此時點P₁（2+

11

，3），P₂（2-

11

，3）與直線x=2之距均為

11

，
∴點P₁、P₂不合題意，應舍去．（9分）
當點P在x軸下方時，
∵⊙P與x軸相切，
∴令y=x²-4x-4=-3，
解得x=2±

5

（10分）
此時點P₃（2+

5

，-3），P₄（2-

5

，-3）與直線x=2之距均為

5

，
∵

5

＜3，⊙P₃、⊙P₄均與直線l₂：x=2相交，
∴點P₃、P₄符合題意．（11分）
此時弦AB=2×

32-( 5 )2

=4
綜上，點P的坐標為（2+

5

，-3）或（2-

5

，-3），
直線l₂被⊙P所截得的弦AB的長為4．（13分）

點評：再熟練掌握二次函數的解析式和圖象之間的關系下，掌握平移引起的對稱軸的變化；該題綜合性開放性很強，二次函數圖象與圓相切，以及與一次函數的交點等等問題，是綜合型的函數題中常見的問題．