Question

如圖所示，已知四邊形ABCD是正方形，E是CD的中點，P是BC邊上的一點，下列條件中，可以推出△ABP與△ECP相似的有_______。[來源:Z&xx&k.Com]

①∠APB=∠EPC；②∠APE的平分線垂直于BC；③P是BC的中點；④BP：BC=2：3．

 

 

 

Answer 1

【答案】

①②④

【解析】解：∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，

當∠APB=∠EPC時，又∠B=∠C=90°，

∴△ABP∽△ECP；

當∠APE的平分線垂直于BC，如圖所示：

∵QP⊥BC，

∴∠QPB=∠QPC=90°，

又∵PQ為∠APE的平分線，

∴∠APQ=∠EPQ，

∴∠QPB-∠APQ=∠QPC-∠EPQ，即∠APB=∠EPC，

同理可得出△ABP∽△ECP；

當P為BC中點時，BP=CP= BC，

又∵E為CD的中點，

∴DE=CE=CD，

∴PC=EC，

又∵∠C=90°，

∴△PEC為等腰直角三角形，

而AB=2BP，△ABP不為等腰直角三角形，

則P是BC的中點時，兩三角形不相似；

當BP：BC=2：3時，設BP=2k，則BC=3k，

∴CP=BC-BP=3k-2k=k，

又∵E為CD的中點，

∴CE=DE= CD=BC= k，

∴，，

∴，且∠B=∠C=90°，

∴△ABP∽△ECP，

綜上，可以得到△ABP∽△ECP的選項為①②④．

故答案為：①②④