Question

（2013•廈門）如圖所示，已知四邊形OABC是菱形，∠O=60°，點M是邊OA的中點，以點O為圓心，r為半徑作⊙O分別交OA，OC于點D，E，連接BM．若BM=

7

，

DE

的長是

3 π

3

．求證：直線BC與⊙O相切．

Answer 1

分析：過點O作OF⊥BC于F，過點B作BG⊥OA于G，則四邊形BGOF為矩形，OF=BG．設菱形OABC的邊長為2a，先在Rt△BMG中，利用勾股定理得出BG²+GM²=BM²，即（

3

a）²+（2a）²=（

7

）²，求得a=1，得到OF=

3

，再根據弧長公式求出r=

3

，則圓心O到直線BC的距離等于圓的半徑r，從而判定直線BC與⊙O相切．

解答：證明：如圖，過點O作OF⊥BC于F，過點B作BG⊥OA于G，則四邊形BGOF為矩形，OF=BG．
設菱形OABC的邊長為2a，則AM=

1

2

OA=a．
∵菱形OABC中，AB∥OC，
∴∠BAG=∠COA=60°，∠ABG=90°-60°=30°，
∴AG=

1

2

AB=a，BG=

3

AG=

3

a．
在Rt△BMG中，∵∠BGM=90°，BG=

3

a，GM=a+a=2a，BM=

7

，
∴BG²+GM²=BM²，即（

3

a）²+（2a）²=（

7

）²，
解得a=1，
∴OF=BG=

3

．
∵

DE

的長=

60πr

180

=

3 π

3

，
∴r=

3

，
∴OF=r=

3

，即圓心O到直線BC的距離等于圓的半徑r，
∴直線BC與⊙O相切．

點評：本題考查了菱形的性質，勾股定理，弧長的計算公式，切線的判定，綜合性較強，難度適中，利用菱形的性質及勾股定理求出a的值是解題的關鍵．