Question

拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點為P，與x軸的兩個交點為M、N（點M在點N的左側），△PMN的三個內角∠P、∠M、∠N所對的邊分別為p、m、n，若關于x的一元二次方程（p-m）x²+2nx+（p+m）=0有兩個相等的實數根．
（1）試判定△PMN的形狀；
（2）當頂點P的坐標為（2，-1）時，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，平行于x軸的直線與拋物線交于A、B兩點，以AB為直徑的圓恰好與x軸相切，求該圓的圓心坐標．

Answer 1

分析：（1）由拋物線的對稱性，方程等根時△=0，全面地判斷△PMN的形狀；（2）運用（1）的結論，拋物線的對稱性推出M、N的坐標，設頂點式，求拋物線解析式；（3）設圓心C（2，h），可推出A（2+h，h），代入拋物線解析式可求h，從而確定圓心的坐標．

解答：解：（1）∵關于x的一元二次方程（p-m）x²+2nx+（p+m）=0有兩個相等的實數根，
∴△=（2n）²-4（p-m）（p+m）=0，
解得m²+n²=p²；
又由拋物線的對稱性可得PM=PN，
故△PMN是等腰直角三角形；
（2）由頂點P（2，-1）及△PMN是等腰直角三角形可得M（1，0），N（3，0），
設拋物線解析式y=a（x-2）²-1，
把M（1，0）代入得a=1，
∴y=（x-2）²-1，即y=x²-4x+3．
（3）根據拋物線的對稱性，圓心一定在對稱軸上，
設圓心C（2，h），則A（2+h，h），
代入拋物線解析式，
h=（2+h-2）²-1，
解得h=

1± 5

2

，
∴該圓的圓心坐標為（2，

1+ 5

2

）或（2，

1- 5

2

）．

點評：本題是方程與函數的綜合題，要充分運用拋物線及圓的對稱性，圓的切線性質等知識解答本題．