Question

【題目】如圖，直線AB分別交y軸、x軸于A、B兩點，OA=2，tan∠ABO= ，拋物線y=﹣x2+bx+c過A、B兩點．

（1）求直線AB和這個拋物線的解析式；
（2）設拋物線的頂點為D，求△ABD的面積；
（3）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N．求當t取何值時，MN的長度l有最大值？最大值是多少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵在Rt△AOB中，tan∠ABO= ，OA=2，

即 = ，

∴0B=4，

∴A（0，2），B（4，0），

把A、B的坐標代入y=﹣x2+bx+c得： ，

解得：b= ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+ x+2，

設直線AB的解析式為y=kx+e，把A、B的坐標代入得： ，

解得：k=﹣ ，e=2，

所以直線AB的解析式是y=﹣ x+2

（2）

解：過點D作DE⊥y軸于點E，

由（1）拋物線解析式為y=﹣x2+ x+2=﹣（x﹣ ）2+ ，

即D的坐標為（ ， ），

則ED= ，EO= ，

AE=EO﹣OA= ，

S△ABD=S梯形DEOB﹣S△DEA﹣S△AOB= ×（ +4）× ﹣ × ﹣ ×4×2=

（3）

解：由題可知，M、N橫坐標均為t．

∵M在直線AB：y=﹣ x+2上

∴M（t，﹣ t+2）

∵N在拋物線y=﹣x2+ x+2上

∴M（t，﹣t2+ t+2），

∵作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個拋物線于N，

∴MN=﹣t2+ t+2﹣（﹣ +2）=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，

其中0＜t＜4，

∴當t=2時，MN最大=4，

所以當t=2時，MN的長度l有最大值，最大值是4

【解析】（1）求出OB，把A、B的坐標代入y=﹣x2+bx+c和y=kx+e求出即可；（2）求出D的坐標，再根據面積公式求出即可；（3）求出M、N的坐標，求出MN的值，再化成頂點式，即可求出答案．