Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=60°，∠BAC=∠ACD=90°，點E為邊AB上一點，AB=3AE=3cm，動點P從B點出發(fā)，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA運動至A點停止，設運動時間為t秒．

（1）求證四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）當△BEP為等腰三角形時，求t2﹣31t的值；
（3）當t=4時，把△ABP沿直線AP翻折，得到△AFP，求△AFP與ABCD重疊部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在△ABC和△DCA中 ，

∴△ABC≌△DCA（AAS）．

∴AB=CD，AD=BC．

∴四邊形ABCD是平行四邊形

（2）

解：如圖1所示：當點P在BC上時．

∵△BEP為等腰三角形，∠B=60°，

∴△BEP為等邊三角形．

∴BP=BE=3﹣1=2．

∵點P運動的速度為1cm/s，

∴t=2．

∴t2﹣31t=22﹣31×2=﹣58．

如圖2所示：當點P在AD上時：EB=EP，作PH⊥AB，PA=15﹣t．

∵∠ABC=60°，AD∥BC，

∴∠HAP=60°．

∵∠H=90°，

∴∠HPA=30°．

∴AH= AP= ，PH= AH= ．

在Rt△EHP中，由勾股定理得：（ +1）2+（ ）2=22，整理得：t2﹣31t=﹣237

（3）

解：如圖所示：設PF與AD交于點M，作MN⊥AP于N，AH⊥BP點H．

在Rt△ABH中，∠B=60°，則BH= AB= ，AH= ．

∴HP=4﹣ = ．

∴S△APH= × × = ．

在Rt△APH中，依據(jù)勾股定理可知AP= ．

由翻折的性質(zhì)可知∠BPA=∠FPA．

∵AD∥BC，

∴∠BPA=∠DAP．

∴∠FPA=∠DAP．

∴AM=PM．

又∵MN⊥AP，

∴AN=NP= ．

∵∠AHP=∠MNP=90°，∠BPA=∠FPA，

∴△MPN∽△APH，

∴ =（ ）2= ．

∴S△MNP= × = ．

∵AD∥BC，

∴∠BPA=∠DAP．

∴∠FPA=∠DAP．

∴AM=PM．

又∵MN⊥AP，

∴AN=NP．

∴S△AMP=2S△MNP=

【解析】（1）首先證明△ABC≌△DCA，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)可知AB=CD，AD=BC，接下來，依據(jù)兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形進行證明即可；（2）當點P在BC上時，可證明△BEP為等邊三角形，從而可求得t=2，將t=2代入所求代數(shù)式即可求得代數(shù)式的值；當點P在AD上時，作PH⊥AB，PA=15﹣t，在Rt△APH中，∠HAP=60°，于是可求得AH= ，PH= ，接下來，在Rt△EHP中，由勾股定理可得到關于t的方程，整理這個關于t的方程即可得到問題的答案；（3）設PF與AD交于點M，作MN⊥AP于N，AH⊥BP點H．在Rt△ABH中可求得BH，AH的長，從而可得到HP的長，然后依據(jù)勾股定可求得到AP的長，依據(jù)三角形的面積可求得S△APH的值，在Rt△APH中，依據(jù)勾股定可求得AP= ．接下來，證明△AMP為等腰三角形，依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得到NP的長，然后證明△MPN∽△APH，依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得S△MNP的值，最后依據(jù)S△AMP=2S△MNP求解即可．