Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，點A的坐標為（5，0），菱形OABC的頂點B，C都在第一象限，tan∠AOC= ，將菱形繞點A按順時針方向旋轉角α（0°＜∠α＜∠AOC）得到菱形FADE（點O的對應點為點F），EF與OC交于點G，連結AG．

（1）求點B的坐標．
（2）當OG=4時，求AG的長．
（3）求證：GA平分∠OGE．
（4）連結BD并延長交x軸于點P，當點P的坐標為（12，0）時，求點G的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，過點B作BH⊥x軸于點H，

∵四邊形OABC為菱形，

∴OC∥AB，

∴∠BAH=∠COA．

∵tan∠AOC= ，

∴tan∠BAH= ．

又∵在直角△BAH中，AB=5，

∴BH= AB=4，AH= AB=3，

∴OH=OA+AH=5+3=8，

∴點B的坐標為（8，4）

（2）

解：如圖1，

過點A作AM⊥OC于點M，

在直角△AOM中，∵tan∠AOC= ，OA=5，

∴AM= OA=4，OM= OA=3，

∵OG=4，

∴GM=OG﹣OM=4﹣3=1，

∴AG= = =

（3）

證明：如圖1，

過點A作AN⊥EF于點N，

∵在△AOM與△AFN中， ，

∴△AOM≌△AFN（ASA），

∴AM=AN，

∴GA平分∠OGE

（4）

解：如圖2，

過點G作GQ⊥x軸于點Q，

由旋轉可知：∠OAF=∠BAD=α．

∵AB=AD，

∴∠ABP= ，

∵∠AOT=∠F，∠OTA=∠GTF，

∴∠OGA=∠EGA= ，

∴∠OGA=ABP，

又∵∠GOA=∠BAP，

∴△GOA∽△BAP，

∴ ，

∴GQ= ×4= ．

∵tan∠AOC= ，

∴OQ= × = ，

∴G（ ， ）．

【解析】（1）如圖1，過點B作BH⊥x軸于點H，構建直角△ABH，所以利用菱形的四條邊相等的性質和解該直角三角形得到AH、BH的長度，則易求點B的坐標；（2）如圖1，過點A作AM⊥OC于點M，構建直角△OAM和直角△AMG，通過解直角△OAM求得直角邊AM的長度，然后結合圖形和勾股定理來求AG的長度；（3）如圖1，過點A作AM⊥OC于點M，構建全等三角形：△AOM≌△AFN（ASA），利用該全等三角形的對應邊相等得到AM=AN，最后結合角平分線的性質證得結論；（4）如圖2，過點G作GQ⊥x軸于點Q，構建相似三角形：△GOA∽△BAP，根據該相似三角形的對應邊成比例得到求得GQ的長度．結合已知條件tan∠AOC= ，來求邊OQ的長度，即可得到點G的坐標．本題考查了四邊形綜合題．解題過程中，涉及到了全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，旋轉的性質，解直角三角形以及勾股定理等知識點，解答該題的難點在于作出輔助線，構建相關的圖形的性質．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對相似三角形的判定與性質的理解，了解相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．