Question

【題目】閱讀理解
我們知道，1+2+3+…+n= ，那么12+22+32+…+n2結(jié)果等于多少呢？
在圖1所示三角形數(shù)陣中，第1行圓圈中的數(shù)為1，即12 ， 第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為2+2，即22 ， …；第n行n個(gè)圓圈中數(shù)的和為 ，即n2 ， 這樣，該三角形數(shù)陣中共有 個(gè)圓圈，所有圓圈中數(shù)的和為12+22+32+…+n2 ．

（1）將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)（如第n﹣1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n﹣1，2，n），發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為 ， 由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為3（12+22+32+…+n2）= ， 因此，12+22+32+…+n2= ．
（2）根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計(jì)算： 的結(jié)果為 ．

Answer 1

【答案】
（1）2n+1；；
（2）12345
【解析】（1）解：由題意知，每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為n﹣1+2+n=2n+1，
由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為：
3（12+22+32+…+n2）=（2n+1）×（1+2+3+…+n）=（2n+1）× ，
因此，12+22+32+…+n2= ；
所以答案是：2n+1， ， ；
⑵原式= = ×（2017×2+1）=1345，
所以答案是：1345．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的數(shù)與式的規(guī)律，需要了解先從圖形上尋找規(guī)律，然后驗(yàn)證規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律，即數(shù)形結(jié)合尋找規(guī)律才能得出正確答案．