Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=4，AD=6，∠ABC=60°；點P是射線AD上的一個動點（與點A不重合），BP與AC相交于點E，設AP=x．
（1）求AC的長；
（2）如果△ABP和△BCE相似，請求出x的值；
（3）當△ABE是等腰三角形時，求x的值．

Answer 1

（1）過點A作AF⊥BC于F（1分）
在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∠ABF=60°
∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4×

3

2

=2

3

，
BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×

1

2

=2
在Rt△AFC中，∠AFC=90°
∴AC=

AF2+FC2

=

(2 3 )2+42

=2

7

（1分）

（2）過點P作PG⊥BC于G，在Rt△BPG中，∠PGB=90°，
∴BP=

BG2+PG2

=

(2 3 )2+(2+x)2

=

x2+4x+16

（1分）
如果△ABP和△BCE相似，
∵∠APB=∠EBC
又∵∠BAP=∠BCD＞∠ECB（1分）
∴∠ABP=∠ECB
∴

AB

BP

=

EC

BC

即

4

x2+4x+16

=

6 x+6 ×2 7

6

解得x1=8，x2=-

4

3

（不合題意，舍去）
∴x=8（1分）

（3）①當AE=AB=4時
∵AP∥BC，
∴

AP

BC

=

AE

EC

即

x

6

=

4

2 7 -4

，
解得x=4

7

+8，
②當BE=AB=4時
∵AP∥BC，
∴

PE

BE

=

AP

BC

，
即

x2+4x+16 -4

4

=

x

6

，
解得x1=

12

5

，x2=0（不合題意，舍去）
③在Rt△AFC中，∠AFC=90°
∵FC=4＞2

3

=AF，
在線段FC上截取FH=AF，
∴∠FAE＞∠FAH=45°
∴∠BAE＞45°+30°＞60°=∠ABC＞∠ABE
∴AE≠BE．
綜上所述，當△ABE是等腰三角形時，x=4

7

+8或

12

5