Question

【題目】已知：如圖，四邊形ABCD為正方形， E為CD邊上的一點，連接AE，并以AE為對稱軸，作與△ADE成軸對稱的圖形△AFE，延長EF（或FE）交直線BC于G。

（1）求證：DE+BG=EG；∠EAG=45°；
（2）AB=1，GF=m，FE=n，求m+n+mn的值;
（3）若AB=6，∠BAG=∠CEG,求GE.

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵以AE為對稱軸，作與△ADE成軸對稱的圖形△AFE，

∴△ADE≌△AFE,

∴AD=AF=AB，DE=FE，∠DAE=∠FAE，∠D=∠AFE=∠AFG=90°=∠B，

在Rt△ABG和Rt△AFG中，

，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），

∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，

∴∠EAG=∠FAE+∠FAG= ∠BAD=45°，

∴GE=GF+EF=BG+DE.

（2）

解：∵AB=1，GF=m，FE=n，則EG=m+n，CG=1-m，CE=1-n，

∵∠C=90°，

∴（1-m）2+（1-n）2=（m+n）2，

整理得：m+n+mn=1.

（3）

解：由（1）可得Rt△ABG≌Rt△AFG，

∴∠BGA=∠FGA.

∵∠BAG=∠CEG,

∴∠BGA=∠CGE,

∴∠BGA=∠CGE=∠FGA= .

則∠BAG=∠CEG=30°,

∴BG= AB=2 ，

∴CG=AB-BG=6-2 ，

∴GE=2CG=12-4 .

【解析】（1）根據HL，Rt△ABG≌Rt△AFG，根據全等三角形的性質，及等量代換可解答；（2）在Rt△CEG中，由勾股定理可得CG2+CE2=EG2 ， 將入相應的m，n的代數式，即可求得；（3）易證得到∠BGA=∠CGE=∠FGA= .則∠BAG=∠CEG=30°,再根據含30°角的直角三角形的三邊關系，求出相應邊的長度.