Question

如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN=45°，易證MN=AM+CN
⑴ 如圖2，在梯形ABCD中，BC∥AD，AB=BC=CD， 點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN=∠ABC ,試探究線段MN、AM、CN有怎樣的數量關系？請寫出猜想，并給予證明．
⑵ 如圖3，在四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN=∠ABC，試探究線段MN、AM、CN又有怎樣的數量關系？請直接寫出猜想，不需證明．

Answer 1

（1）MN=AM＋CN，證明見解析（2）MN=CN－AM

解：（1）MN=AM＋CN。證明如下：
如圖，∵BC∥AD，AB=BC=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形。
∴∠A+∠BCD=180°。
把△ABM繞點B順時針旋轉到△CBM′，

則AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，
∴∠BCM′+∠BCD=180°。∴點M′、C、M三點共線。
∵∠MBN=∠ABC，
∴∠M′BN=∠M′BC＋∠CBN=∠ABM＋∠CBN=∠ABC－∠MBN=∠ABC。
∴∠MBN=∠M′BN。
在△BMN和△BM′N中，∵ BM="BM′" ，∠MBN=∠M′BN， BN=BN，
∴△BMN≌△BM′N（SAS），∴MN=M′N。
又∵M′N=CM′＋CN=AM＋CN，∴MN=AM＋CN。
（2）MN=CN－AM。
（1）先判定梯形ABCD是等腰梯形，根據等腰梯形的性質可得∠A+∠BCD=180°，再把△ABM繞點B順時針旋轉90°，點A與點C重合，點M到達點M′，根據旋轉變換的性質，可得AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC，然后證明M′、C、N三點共線，再利用“邊角邊”證明△BMN和△BM′N全等，然后根據全等三角形對應邊相等即可得證。
（2）在∠CBN內部作∠CBM′=∠ABM交CN于點M′，然后證明∠C=∠BAM，再利用“角邊角”證明△ABM和△CBM′全等，根據全等三角形對應邊相等可得AM=CM′，BM=BM′，再證明∠MBN=∠M′BN，利用“邊角邊”證明△MBN和△M′BN全等，根據全等三角形對應邊相等可得MN=M′N，從而得到MN=CN-AM：
如圖，作∠CBM′=∠ABM交CN于點M′，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠BAD+∠C=360°－180°=180°。
又∵∠BAD+∠BAM=180°，∴∠C=∠BAM。
在△ABM和△CBM′中，∵∠CBM′=∠ABM′ ，AB="BC" ，∠C=∠BAM，
∴△ABM≌△CBM′（ASA）。∴AM=CM′，BM=BM′。
∵∠MBN=∠ABC，
∴∠M′BN=∠ABC－（∠ABN＋∠CBM′）=∠ABC－（∠ABN＋∠ABM）
=∠ABC-∠MBN=∠ABC。
∴∠MBN=∠M′BN。
在△MBN和△M′BN中，∵BM="BM′" ，∠MBN=∠M′BN， BN=BN，
∴△MBN≌△M′BN（SAS）。∴MN=M′N。
∵M′N=CN－CM′=CN－AM，∴MN=CN-AM。