Question

（1）如圖①，將邊長為1的等邊三角形紙片（即△OAB）沿直線l₁向右滾動（不滑動），三角形紙片經過兩次滾動，點O運動到了點O₂處；則頂點O經過的路線長

4

3

π

；
（2）類比研究：如圖②，將邊長為1的正方形紙片OABC沿直線l₂向右滾動（不滑動），OA邊與直線l₂重合，將正方形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉90°，此時點O運動到了點O₁處（即點B處），點C運動到了點C₁處，點B運動到了點B₁處；又將正方形紙片AO₁C₁B₁繞B₁點按順時針方向旋轉90°，…，按上述方法經過若干次旋轉后，請解決如下問題：
問題①若正方形紙片OABC按上述方法經過3次旋轉，求頂點O經過的路線長，并求頂點O運動的路徑與直線l₂圍成圖形的面積；
②若正方形OABC按上述方法經過5次旋轉，求頂點O經過的路線長

3+ 2

2

π

；
③正方形紙片OABC按上述方法經過2010次旋轉，頂點O經過的路程是

603π+201

2

π

．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的每一個外角都是120°可知，點O一次旋轉所經過的路線是以邊長為半徑，120°為圓心角的扇形，然后根據弧長公式進行計算即可求解；
（2）為了便于標注字母，且更清晰的觀察，每次旋轉后向右稍微平移一點，作出前幾次旋轉后的圖形，點O的第1次旋轉路線是以正方形的邊長為半徑，以90°圓心角的扇形，第2次旋轉路線是以正方形的對角線長為半徑，以90°圓心角的扇形，第3次旋轉路線是以正方形的邊長為半徑，以90°圓心角的扇形；
①根據弧長公式與扇形的面積計算公式分別進行計算，然后相加即可；
②根據弧長公式列式進行計算即可得解；
③求出2010次旋轉中有幾個5次，然后根據②的結論進行計算即可求解．

解答：解：（1）∵△ABC是等邊三角形，
∴∠OAO₁=120°，
∴頂點O滾動1次經過的路線長為

120•π•1

180

=

2

3

π，
∴兩次滾動后點O經過的路線長為：2×

2

3

π=

4

3

π；

（2）如圖2，為了便于標注字母，且位置更清晰，每次旋轉后不防向右移動一點，
第1次旋轉路線是以正方形的邊長為半徑，以90°圓心角的扇形，
路線長為

90•π•1

180

=

1

2

π，
面積為

90•π•12

360

=

1

4

π，
第2次旋轉路線是以正方形的對角線長

2

為半徑，以90°圓心角的扇形，
路線長為

90•π• 2

180

=

2

2

π，
面積為

90•π• 2 2

360

=

1

2

π，
第3次旋轉路線是以正方形的邊長為半徑，以90°圓心角的扇形，
路線長為

90•π•1

180

=

1

2

π，
面積為

90•π•12

360

=

1

4

π，
①經過3次旋轉，頂點O運動的路徑為

1

2

π+

2

2

π+

1

2

π=

2+ 2

2

π，
與直線l₂圍成圖形的面積為

1

4

π+

1

2

π+

1

4

π=π；
②第4次旋轉點O沒有移動，旋轉后于最初正方形的放置相同，
因此5次旋轉，頂點O經過的路線長為

1

2

π+

2

2

π+

1

2

π+0+

1

2

π=

3+ 2

2

π；
③∵2010÷5=402，
∴經過2010次旋轉，頂點O經過的路程是5次旋轉路程的402倍，

3+ 2

2

π×402=603π+201

2

π．
故答案為：（1）

4

3

π；（2）

3+ 2

2

π，603π+201

2

π．

點評：本題考查了旋轉變換的性質，等邊三角形與正方形的性質，讀懂題意，并根據題意作出圖形更形象直觀，且有利于旋轉變換規律的發現．