Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，D是BC邊上一點，以DB為直徑的⊙O經過AB的中點E，交AD的延長線于點F，連結EF．
（1）求證：∠1=∠F．
（2）若sinB= ，EF=2 ，求CD的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：連接DE，

∵BD是⊙O的直徑，

∴∠DEB=90°，

∵E是AB的中點，

∴DA=DB，

∴∠1=∠B，

∵∠B=∠F，

∴∠1=∠F；

（2）

解：∵∠1=∠F，

∴AE=EF=2 ，

∴AB=2AE=4 ，

在Rt△ABC中，AC=ABsinB=4，

∴BC= =8，

設CD=x，則AD=BD=8﹣x，

∵AC2+CD2=AD2，

即42+x2=（8﹣x）2，

∴x=3，即CD=3．

【解析】（1）連接DE，由BD是⊙O的直徑，得到∠DEB=90°，由于E是AB的中點，得到DA=DB，根據等腰三角形的性質得到∠1=∠B等量代換即可得到結論；
（2）g根據等腰三角形的判定定理得到AE=EF=2 ，推出AB=2AE=4 ，在Rt△ABC中，根據勾股定理得到BC= =8，設CD=x，則AD=BD=8﹣x，根據勾股定理列方程即可得到結論．本題考查了圓周角定理，解直角三角形的性質，等腰三角形的性質，勾股定理，正確的作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．