Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．動點M，N從點C同時出發，均以每秒1cm的速度分別沿CA、CB向終點A，B移動，同時動點P從點B出發，以每秒2cm的速度沿BA向終點A移動，連接PM，PN，設移動時間為t（單位：秒，0＜t＜2.5）．

（1）當t為何值時，以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似？
（2）是否存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．

∴根據勾股定理，得 =5cm．

以A，P，M為頂點的三角形與△ABC相似，分兩種情況：

①當△AMP∽△ABC時， ，即 = ，

解得t= ；

②當△APM∽△ABC時， ，即 = ，

解得t=0（不合題意，舍去）；

綜上所述，當t= 時，以A、P、M為頂點的三角形與△ABC相似

（2）

解：存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．理由如下：

假設存在某一時刻t，使四邊形APNC的面積S有最小值．

如圖，過點P作PH⊥BC于點H．則PH∥AC，

∴ ，即 = ，

∴PH= t，

∴S=S△ABC﹣S△BPN，

= ×3×4﹣ ×（3﹣t） t，

= （t﹣ ）2+ （0＜t＜2.5）．

∵ ＞0，

∴S有最小值．

當t= 時，S最小值= ．

答：當t= 時，四邊形APNC的面積S有最小值，其最小值是 ．

【解析】根據勾股定理求得AB=5cm．（1）分類討論：△AMP∽△ABC和△APM∽△ABC兩種情況．利用相似三角形的對應邊成比例來求t的值；（2）如圖，過點P作PH⊥BC于點H，構造平行線PH∥AC，由平行線分線段成比例求得以t表示的PH的值；然后根據“S=S△ABC﹣S△BPH”列出S與t的關系式S= （t﹣ ）2+ （0＜t＜2.5），則由二次函數最值的求法即可得到S的最小值．