Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=2,BC=4，其兩條外角平分線AD、CD交于點D，且∠ADC=45°，連接BD交AC于點P，過點P作PE⊥AC交BC于點F，交AB的延長線于點E．

（1）求證：∠ABC=90° ;

（2）求S△PFC：S△PBF的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）設∠BAC=，∠ACB=，然后分別表示出∠DAC和∠DCA，利用三角形內角和可求出，即可得證；

（2）由角平分線的性質易得BD平分∠ABC，過P作PG⊥BD，易證△PBE≌△PGC，然后證明△PCF≌△PEA，可得CF=AE，設BF=x，則CF=AE=4-x，可得BE=2-x，由BF與BE的比例關系可解出x，得到BF與FC的比例關系即為面積比.

解：（1）設∠BAC=，∠ACB=，

∵AD、CD為△ABC的外角平分線，

∴∠DAC=

∠DCA=

在△ACD中，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，

即

∴

∴∠ABC=

（2）如圖所示，過D作DN⊥AB于點N，DM⊥BC于點M，DH⊥AC于點H，

∵AD平分∠CAN，CD平分∠ACM，

∴DN=DH，DH=DM

∴DN=DM

∴BD平分∠ABC

又∵∠ABC=90°，

∴∠PBC=45°，

過P作PG⊥PB，交BC于點G，如圖，

∴∠PBG=∠PGB=45°

∴PB=PG

∵∠PCG+∠BAC=90°，∠E+∠BAC=90°

∴∠PCG=∠E

∵PE⊥AC

∴∠CPG+∠GPF=90°

又∵∠EPB+∠GPF=90°

∴∠CPG=∠EPB

在△PBE和△PGC中，

∴△PBE≌△PGC（AAS）

∴PE=PC

在△PCF和△PEA中，

∴△PCF≌△PEA（ASA）

∴CF=AE

設BF=x，則CF=AE=4-x，BE=AE-AB=2-x，

∵∠ACB=∠E，∠ABC=∠FBE=90°，

∴△ABC∽△FBE

∴

即，解得x=

∴CF=

∴

即S△PFC:S△PBF的值為.