Question

（2012•澄海區模擬）如圖，在某海域內有三個港口P、M、N．港口M在港口P的南偏東60°的方向上，港口N在港口M的正西方向上，P、M兩港口相距20海里，P、N兩港口相距10

2

海里．求：
（1）港口N在港口P的什么方向上？請說明理由；
（2）M、N兩港口的距離（結果保留根號）．

Answer 1

分析：（1）在Rt△PQM中，由∠MPQ=60°可知∠PMQ=30°，再根據PM=20海里，可知PQ=

1

2

PM=10海里，在Rt△PQN中，利用銳角三角函數的定義即可得出∠QPN的度數；
（2）由（1）可知Rt△PQM為等腰直角三角形，故NQ=PQ，在Rt△PQM中，利用MQ=PQ•tan∠QPM可求出MQ的長，再由MN=MQ-NQ即可得出結論．

解答：解：（1）在Rt△PQM中，
∵∠MPQ=60°，
∴∠PMQ=30°，
又∵PM=20，
∴PQ=

1

2

PM=10（海里），
在Rt△PQN中，cos∠QPN=

PQ

PN

=

10

10 2

=

2

2

，
∴∠QPN=45°．
答：港口N在港口P的東南方向（或南偏東45°）；

（2）由（1）可知Rt△PQM為等腰直角三角形，
∴NQ=PQ=10（海里），
在Rt△PQM中，
∵MQ=PQ•tan∠QPM=10×tan60°=10

3

（海里），
∴MN=MQ-NQ=（10

3

-10）海里．
答：M、N兩港口的距離為（10

3

-10）海里．

點評：本題考查的是解直角三角形的應用-方向角問題，根據題意找出對應的直角三角形，利用銳角三角函數的定義得出結論是解答此題的關鍵．